Examen AP Calculus BC, 2011. Pregunta 1d

a parte de encuentra la distancia total recorrida por la partícula en el intervalo de tiempo cero menor o igual que t menor o igual que 3 vamos a iniciar dibujando los ejes coordenadas aquí y ojo tú no vas a hacer esto en el examen y en especial bajo la presión que vas a estar resolviendo tu examen así que cuando t es igual a cero dónde está la partícula bueno nos habían dicho que x de 0 es igual a 0 y lleve 0 es igual a menos 4 así que esta es la posición de la partícula que es 0 menos 4 y esto es para ti igual a 0 en el problema anterior ya resolvimos la posición de la partícula cuando t es igual a 3 x es igual a 21 digamos que el 21 está aquí y ya de 3 es igual a déjame ver si recuerdo bien era menos 3 así que esto será el 21 menos 3.226 digamos y esto ocurre para ti igual a 3 y entre estos dos puntos bueno no estamos muy seguros de la trayectoria podría parecer a algo como esto aunque bueno no estamos muy seguros ahora nos preguntan cuál es la distancia total recorrida o también lo puedes pensar cuál es la longitud total de esta trayectoria hay una fórmula para calcular la longitud de arcos si la sabes pues solo podrías aplicarla esta sería una buena idea para tu examen y en especial cuando estás bajo presión pero a mí siempre se me olvidan de estas fórmulas tal vez sea por mi edad siempre me gusta reconstruir las y eso es lo que vamos a hacer ahorita y también esto sirve para recordarnos porque la fórmula funciona podríamos empezar a pensar qué pasa si tomamos un pequeño segmento del arco un creo que mejor lo escoge desde este otro lado y ahora lo voy a pintar aquí para tener más detalle y ver cómo nos lo imaginamos pensemos esto como un acercamiento así que aquí podemos identificar un pequeño incremento en x y lo voy a dibujar aquí y aquí está de equis tenemos un pequeño incremento en jet también y aquí está de pie si esto es especialmente pequeño podremos pensar que esto de aquí es una línea recta esta sería la base esta sería la altura y esta sería la hipotenusa que lo que aproxima a este segmento es una línea recta que es nuestra hipotenusa que se vería más o menos como esto y la conocemos muy bien por el teorema de pitágoras claro ya sabemos que es la raíz de de x cuadrado más de cuadrado sólo estamos aplicando el teorema de pitágoras pero ahora como re escribiríamos esto en función de t ya sabemos que de x el dt es igual a x prima de t y a partir de esto podríamos encontrar dt y si tratáramos las diferenciales como números que no es muy riguroso entonces podemos decir que de x es igual a ex prima de t de t y también sabemos que deje en dt será lo mismo que la derivada del ente multiplicamos ambos lados por dt y obtenemos de d es igual la prima de t de t lo que estoy haciendo aquí es simplemente reformular la ecuación del arco y lo vamos a llamar de de que será bueno de él por algo pequeño bueno la verdad no es tan importante ahorita como lo vamos a llamar pero mejor regresemos a nuestra expresión y ahora reescribir la en términos de lo que ya tengo aquí y acá y al hacer esto tendré todo en términos de t y entonces lo que obtengo es que ahora será la raíz cuadrada de de equis cuadrada pero de x cuadrada será lo mismo que haber voy a poner un color magenta de x prima de t de t al cuadrado y tenemos más de g al cuadrado y al cuadrado será lo que tengo aquí o sea prima de tdt al cuadrado ahí voy a ajustar aquí mi radical así que nuestra longitud de arco es esta que tenemos aquí podríamos empezar factor izando de t cuadrada y será igual a 7 igual a detea al cuadrado que está multiplicando x prima de t al cuadrado más prima de t al cuadrado y aquí se ve que con facilidad puedo sacar a la dt del radical porque la raíz cuadrada de de t al cuadrado es simplemente de t simplifica a esta parte que está aquí que es x prima de t al cuadrado más prima de t al cuadrado dt pero no queremos encontrar la longitud nada más de este pequeño arco queremos encontrar el de toda la trayectoria la suma de todos los pequeños que hay en la trayectoria así que lo que vamos a hacer ahora será integrar todos los dt es la suma infinita de todas las pequeñas de test que van desde t igual a 0 hasta t igual a 3 así que ahora vamos a hacerlo observemos que ya nos dijeron que es x prima de t y se prima de t así que ahora vamos a reescribir la expresión que será la integral de 0 a 3 de la raíz cuadrada y esquila voy a hacer bastante larga el radical de x prima de t al cuadrado pero aquí nos indican que x prima de t es igual a 4 temas 1 así que aquí pongo 4 temas 1 al cuadrado más de prima de t al cuadrado más prima de t al cuadrado el seno de t al cuadrado así que aquí es seno de t al cuadrado y observa tengo que elevar todo esto al cuadrado y después de té y en esta integral no es tan fácil de encontrar la anti derivada pero la suerte que tenemos es que en estos exámenes podemos usar calculadoras así que este será el trabajo difícil y utilizaremos esta función integral definida que está aquí vamos primero al catálogo de funciones y nos vamos a las f y aquí está la integral definida ahora tenemos que escribir todo esto en la calculadora o sea la raíz cuadrada de y aquí voy a escribir todo en términos de x porque es más fácil hacerlo con la calculadora así que la raíz d 4 x 1 al cuadrado más así que el seno el seno de x cuadrado y aquí lo tengo que indicar muy bien todo esto lo vamos a elevar al cuadrado si osea el paréntesis me indica de dónde a dónde estoy elevando algo al cuadrado ahora indicamos donde termina el radical ahora debo de indicar cuál es mi variable de integración que es x podría haber utilizado t también no hace mucha diferencia y ahora lo voy a hacer de 0 a 3 ahora dejemos que la calculadora haga todo el trabajo que tenemos aquí y vamos a obtener démosle un poquito de tiempo obtenemos obtenemos 21.09 1 si aquí es igual a 21.09 1 así que esta es la longitud de todo el arco esta es la distancia total recorrida