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Transcripción del video

estamos en la parte de la región r se rota alrededor del eje x para formar un sólido encuentre el volumen del sólido en términos de k si es que éste es nuestra región r y esta va a rotar alrededor del eje x para formar un sólido y este sólido se verá algo así en esta parte de aquí es estas son aquí que estamos rotando se va a ver así y luego estoy dibujando lo mejor puedo esto se va a ver de la siguiente manera esta es la forma aproximada que tiene ese sólido parecido a una bocina puedes imaginar que aquí tenemos el eje y esta línea vertical es el eje y y por el centro del sólido por el centro del sólido estaría pasando el eje x y xi el sólido quizás fuera transparente se vería el otro lado y el eje x se vería atravesando el centro del sólido como encontramos el volumen de este sólido podemos pensar en cada uno de los distintos discos que constituyen este sólido cómo le hacemos tomemos uno de estos discos puedes imaginarte que es una sección transversal de este sólido de tal manera que este disco va a tener una área en la base una cara y una cierta profundidad puedes imaginarte que es como una moneda donde esa profundidad va a ser la orilla de la moneda y el área de la base corresponde al área de la cara de la moneda cuál va a ser el volumen entonces de este disco que tenemos aquí va a ser el área de la base por la profundidad y cuál es el área de la base el área de la base será de un círculo que es por radio al cuadrado entonces el área la base va a ser igual aquí por el radio al cuadrado y cuál es este radio el radio es la altura que va desde el eje x hasta la función la función es a la 2x entonces el área de uno de estos discos ubicado en la posición x va a ser igual a pi por ea la 2 x elevado al cuadrado y cuál va a ser el volumen de ese disco el volumen de ese disco es el área de la base que es y por el lado sexy al cuadrado por el espesor que es de x es el volumen de este disco que tenemos aquí que tiene un espesor infinitamente pequeño lo que queremos hacer es sumar todos estos discos aquí tenemos un montón de sus discos de esos discos infinitamente pequeños queremos tomar una suma infinita de esos infinitamente delgados discos es decir queremos sumar sumar desde x igual a cero hasta x igual acá aquí tenemos x igual acá aquí tenemos x igual a 0 y sumamos todos los discos para obtener el volumen total podemos evaluar esta integral no está tan difícil déjame escribirla aquí abajo aquí tenemos a la 2 x elevado al cuadrado es a la 4 x 2 x x 2 es 4x podemos obtener esta integral por inspección pero también puedes decir mira aquí tienes 4x necesitamos su derivada la diva de 4x es igual a 4 y vamos a dividir entre 4 para que no se altere el expresión si multiplicas por 4 y divides entre 4 estas multiplicando por 1 entonces no salte a la expresión lo que esto hace y déjame describir esto entonces tenemos entre 4 x 4 a la 4x hemos multiplicado por cuatro y entre cuatro ana lemos alterado lo que hemos hecho aquí es sacar la derivada de 4x que es 4 entonces esto esta expresión la podemos reescribir de la siguiente manera y sobre 4 que es una constante y sale fuera la integral y sobre 4 la integral de 0 acá de 4 y a la 4 x de x y la razón por la que he hecho esto es porque aquí tenemos esta expresión y aquí está su derivada entonces hemos completado esta expresión podríamos pensar que esto es a la equis que estamos integrando a la equis o más bien podríamos decir que estamos integrando con respecto a 4x de tal manera que esta integral sería la 4x y lo puede checar si tú derivas a la 4x vas a tener 4 a la 4 x entonces esta expresión es la anti derivada de estar acá y la vamos a evaluar entre 0 y k multiplicada por pi cuartos todo x inti cuartos entonces evaluamos entonces encaja evaluando en k esto resulta que a la 4 acá tenemos así y cuartos por el a 4 k menos a la 4 por 0 es el acero que es igual a 1 aquí tenemos entonces nuestro volumen pi cuartos por ea la 4 k menos 1 y hemos concluido así la parte d ya hicimos parte de íbamos a ser la parte c el volumen b encontrado en la parte de cambia a medida que cambia si decaen dt la derivada de k con respecto a t es igual un tercio de termina de vender la divida debe con respecto a t cuando acá es igual a un medio esto se puede resolver directamente a partir de la regla de la cadena y si tú contempla los diferenciales como números muy pequeños lo cual es parte del sentido común la tasa de cambio debe o un cambio muy pequeño en b con respecto a un cambio muy pequeño en t es igual a un cambio muy pequeño en b con respecto un cambio muy pequeño en k x un cambio muy pequeño en k con respecto a un cambio muy pequeño en t o la derivada de b con respecto a t es igual la deriva de b con respecto a k por la derivada de k con respecto a t y la razón por la que dije que esto hacía sentido si tú veías un diferencial como número pequeño y esto que te voy a mostrar no es un tratamiento riguroso tiene que ver más con aplicar un buen sentido común es decir si tus o pones que son números estos términos se pueden cancelar y tendrías dv en dt a ambos lados de la igualdad por eso he dicho que usando un poco el sentido común lo puedes ver hacia esta expresión nos da esencialmente lo que queremos obtener buscamos de vendetta nos dan decaen dt que es igual a un tercio cuando k es igual a un medio así es que nos están dando nos están dando la tasa de cambio de k con respecto a t sabemos que esto de aquí es igual a un tercio y podemos calcular la iba de ver con respecto a acá fácilmente pues tenemos b como función de k en esta expresión hagamos eso entonces la derivada de b con respecto a k es igual a cuartos por la derivada de esto que es la ira de alá 4k -1 la deriva de menos un el ayuda de una constante que es igual a cero en tres serían a más la derivada de la 4k que es 4 a la 4 k estos chicos se cancelan y nos da y por ea la 4 k la cual es la derivada de b con respecto a k nos piden que determinemos esta derivada cuando acá es igual un medio entonces p prima en un medio o más bien podemos poner debe en década cuando acá es igual un medio es igual a pi por a la 4 por un medio lo cual es igual a pi por ea la 2 entonces aquí tenemos deben de acá que hemos calculado que es igual a ti porque al cuadrado traslativa debe con respecto a t cuando caes igual un medio y deben de t perdón cuando acá es igual a un medio y la derivada de k con respecto a t es igual un tercio deben de te va a ser igual a pie cuadrada por un tercio déjame describirlo por acá db en de te va a ser igual a pie cuadrado por un tercio que es cuadrada sobre 3 hemos terminado
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