Examen AP Calculus BC, 2011. Pregunta 3a

problema número 3 sea fx igual a la 2x y sea r la región en el primer cuadrante acotada por la gráfica de f los ejes coordenadas y la recta vertical x igual acá aquí tenemos la gráfica en el documento original se encuentra arriba del texto pero aquí la pusimos nosotros para no desperdiciar el espacio en esta pantalla aquí tenemos la gráfica de fx aquí tenemos la recta x igual acá está encierra la región en el primer cuadrante la región r de tal manera que ésta es nuestra región r entonces que nos piden nos dicen que acá es mayor que 0 y la región se muestra en esta figura bien inciso a escribe pero no evalúe es una expresión que incluya un integral para obtener el perímetro el perímetro de r en términos de k muy bien para obtener el perímetro de rd necesitamos obtener la longitud de los límites y el más difícil es la longitud de esta función desde este punto aquí hasta este punto acá lo que voy a hacer aquí es nuevamente deducir la fórmula para la longitud de arco diego si vas a tomar el examen a p siempre es bueno que memorice la fórmula de longitud de arco aunque siempre recomendable poderla deducir sobre todo si tienes 35 años y no tienes un libro de cálculo a la mano es recomendable saberla deducir así es que reduzcamos la nuevamente supongamos que hacemos un zoom en la curva hacemos un zoom sobre este sector en la curva vamos a poner aquí este es el zoom sobre la curva y lo que podemos hacer aquí para obtener la longitud de arco es lo mismo que hicimos cuando definimos paramétrica mente la función lo que fue en la primera parte de este examen ap sólo que en esta ocasión al no estar definida paramétrica mente lo haremos en términos de xy si es que tomando esta distancia aquí este es un pequeño cambio en x le llamaremos de equis y este de aquí va a ser un pequeño cambio en y al cual le llamaremos de g sabemos que la derivada de con respecto a x de jane de x éste es igual a efe prima de x no podemos suponer que multiplicando ambos lados por de x obtendríamos de igual a efe prima de x de x de y entonces es igual a f prima de x de x y para un pequeño cambio en xy para un pequeño cambio en y podemos aproximar la longitud de este segmento usando el teorema de pitágoras y si el segmento lo suficientemente pequeño la longitud de esta curva está directamente dada por el tema de pitágoras toda la longitud del segmento la calculamos como la raíz de de x cuadrada más de y cuadrada aquí tenemos de jacques f prima de x de x entonces la longitud de este pequeño segmento de curva va a estar dada por la raíz x cuadrada más de jay que se prima de x de x elevado al cuadrado que sería f prima de x al cuadrado fort de x al cuadrado lo único que hice fue elevar de iu al cuadrado déjame extender este signo del radical aquí y así al igual que hicimos cuando teníamos efe definida de forma paramétrica vamos a factorizar de x cuadrada entonces esta expresión va a ser igual a a raíz de si factor izamos de x cuadrada en este término tenemos uno más y factorizar de x cual en el segundo término tenemos fx elevada al cuadrado y el de x cuadra que hemos factor izado lo sacamos de la raíz y tendremos aquí el factor de x así es que esta base la longitud de este pequeñísimo arco un arco infinitesimal longitud que podríamos llamar d arc y esencialmente lo que queremos hacer es sumar todas esas pequeñas longitudes entonces lo que vamos a calcular ahora es la suma desde que x vale cero hasta que x vale acá y aquí estamos integrando con respecto a x si es que esta longitud de arco que tenemos aquí déjame escribir que lo que no están viendo calcular nos están viendo calcular el perímetro de r el prendimiento de r que es igual a esto es igual a esta integral la integral de 0 acá de la raíz de uno más efe prima de x al cuadrado y que es f prima de x f x es igual ayala 2x entonces f prima de x es 2 a la 2 x la derivada de 2x es 2 y la derivada de a la 2x con respecto a 2 x es a la 2 x tenemos entonces 12 a la 2x que queremos elevar al cuadrado éste esp prima de x que queremos elevar al cuadrado entonces sería 4 a la 4 x así que esta parte claro con dx es de la longitud de este arco y es la parte difícil y tenemos que obtener el resto del perímetro ahora esta parte de aquí en esta parte del perímetro es uno de longitud desde cero a uno sería más uno tenemos luego esta porción sobre el eje x es una porción de longitud que más acá y finalmente tenemos esta altura esta altura que tiene longitud efe de acá que sería a la 2 que sería más que a la 2 acá acabamos encontramos el perímetro de r no tenemos que evaluar hemos terminado