Examen AP Calculus BC, 2011. Pregunta 6a

problema 6 sea fx igual al seno de x elevado al cuadrado más el coste no de x la gráfica de ye igual al valor absoluto de la derivada quinta de fx se muestra a continuación no lo sé poniendo aquí para ahorrar espacio sin embargo cuando no ocupemos el inciso de la voy a poner la gráfica del jeep resolvamos el inciso dice escribe los primeros cuatro términos no nulos de la serie de taylor para el seno de x alrededor de x0 y escribe los primeros cuatro términos no nulos de la serie de taylor para el seno de x elevado al cuadrado alrededor también del 0 pues empecemos vamos a recordar que era la aproximación por series de taylor entonces esto es muy plano cartesiano y supongamos que yo tengo una función cualquiera ahora bien él aproximarme al punto x igual a cero por una serie de taylor by es de un punto x igual a cero va a depender de los términos que tenga si yo tengo un término de miseria de taylor va a aparecer una recta constante si yo tengo dos términos va a aparecer una recta muy parecida a ésta si yo tuviera tres términos entonces va a ser una parábola muy parecida a esta aproximando en el punto x igual a cero y yo tuviera cuatro términos que sería una función kubica entonces esto es lo que yo voy a querer hacer para aproximar una serie de taylor esta vez alrededor del seno de x entonces vamos a recordar lo que era matemáticamente x es aproximadamente por su serie de taylor igual a quien a bueno primero teníamos que agarrar un punto de referencia en este caso es el 0 y es la función evaluada en 0 más la primera derivada evaluada en 0 de la función x x más la segunda derivada de la función evaluado en 0 por x cuadrado entre 2 factorial más picas que según un patrón aquí es la primera derivada la segunda derivada por ex cuadrada entre el factor ya la que va a ser la tercera derivada evaluada en 0 por x cúbica entre tres factorial y la siguiente va a ser la cuarta derivada evaluada en 0 x x 4 entre 4 factorial y así sucesivamente es muy importante mencionar que entre más términos tengamos nuestra aproximación va a ser mejor de hecho si tuviéramos una infinidad de términos nuestra aproximación sería la función misma pero bueno la primera parte del inciso dice escribe los primeros cuatro términos de la serie de taylor para el seno de x alrededor de x igual a cero esto ya lo había hecho cuando yo intentaba es la identidad de oier pero vamos a hacerlo de nuevo gx voy a ponerlo con un color distinto para romper la monotonía va a ser igual al seno de x yo lo que quiero es una aproximación por serie entonces vamos a calcular quien es g de 0 pues es 0900 y quién es la primera derivada del seno pues la primera derivada del seno es el coseno de x y si lo evaluamos la primera derivada en 0 pues va a ser coseno de 0 que es uno muy bien calculemos la segunda derivada heavy prima de x es igual a la derivada del coseno que es el menos seno de x y que mi prima evaluada en 0 pues es el seno de 00 por menos pues también es 0 bien sigamos la tercera derivada quién va a ser a pues la derivada de menos x que es menos coseno de x el signo se mantiene y la derivada del 0 es el coseno de x y si evaluamos la tercera derivada en 0 me va a dar menos 1 porque el coste no de cero es 1 y creo que ustedes ya encontraron el patrón de todas maneras le voy a seguir pero creo que ya está fácil encontrar el patrón la cuarta derivada de x quién va a ser pues la derivada del coche no sé no por menos me va a dar el seno otra vez de equis y si lo evaluamos en cero pues otra vez nos va a dar cero entonces está que de cero es lo mismo que cuarta evaluado en cero se están empezando a repetir las derivadas y la evaluación en cero entonces esto es lo mismo que el cuarta de cero y si nosotros le seguimos pues va a ser la derivada del seno que es el consejero entonces si se dan cuenta es unas derivadas cíclicas por lo tanto que quinta en cero va a ser 1 y que se está en 0 pues va a ser cero otra vez y así sucesivamente que es extender o es cero ig séptima en evaluada en 0 va a ser menos uno que séptima evaluada en cero es igual a menos uno y así sucesivamente entonces al menos ya encontramos el patrón y creo que ya con esto podemos resolver la primera parte del inciso queremos los primeros cuatro términos de mi serie de taylor para el seno de x alrededor del cero entonces vamos a intentar hacerlo seno de x es aproximadamente primero me pide f en cero pero en cero es cero entonces no es necesario ponerlo este término se va después efe prima evaluada en cero por equis pero que prima evaluar en ceros uno por equis pues me va a dar x entonces f prima evaluada en 0 por x me da x a esto hay que sumarle la segunda derivada evaluada en 0 pero 0 entonces aquí ya no es necesario poner nada más después hay que sumarle a la tercera derivada evaluada en cero por equis kubica entre tres factores que es 1 no esperen a que algo mal este signo de igual para este signo de igual o menos aquí me confunde con seno de cero es uno por menos es menos 1 entonces ya así queda más claro que esto es menos 1 y menos 1 por equis púbica entre 3 factorial me da menos x cúbica entre 3 factoriales menos equis kubica entre 3 factoriales ahora vamos a ver qué pasa con la cuarta derivada de valuada en 0 por la cuarta derivada evaluada en cero es cero otra vez entonces se va y la quinta pues va a ser 1 por x quinta entre 5 factorial aquí tenemos el término de la quinta derivada evaluada en 0 más pues la sexta se va porque es 0 más la séptima derivada evaluada en 0 que es menos 1 entonces no va a quedar menos 1 por x séptima entre 7 factorial y que creen ya tenemos aquí los primeros cuatro términos de mi serie de taylor que no son nulos que no se hacen cero entonces ya los tenemos aquí y por lo tanto ya tenemos la primera parte del inciso a y es un momento perfecto de empezar a ver la segunda parte del inciso a que dice escribe los primeros cuatro términos no nulos de la serie de taylor para el seno de x elevado al cuadrado alrededor de 0 y pues bueno lo primero que uno pensaría es nueva las derivadas de seno de x al cuadrado la primera segunda tercera derivada sin embargo se ve un poco complicado y algo engorroso entonces ya calculamos la aproximación en series de taylor del seno de x pues por lo tanto si nosotros sustituimos x x x cuadrada ya tenemos aproximación en series de taylor y no tenemos que complicarnos más la vida me va a quedar x cuadrada menos equis cuadrada elevada al cubo entre 3 factorial más x elevado al cuadrado ha elevado a la quinta entre 5 factorial darse cuenta que lo único que estamos haciendo es poner en lugar de x x cuadrada menos equis cuadrada elevada a la séptima entre 7 factorial y ya está con esto encontramos los primeros cuatro términos que no son nulos de la serie de taylor que aproxima al seno de x elevado al cuadrado alrededor del cero y desde cuenta de la importancia de utilizar la aproximación para el seno de x en lugar de no meternos en problemas con las derivadas del seno de x elevado al cuadrado utilizamos la aproximación que ya habíamos sacado para el seno de x si sirve para x pues sirve para x cuadrada y bueno si simplificamos me queda x - x sexta entre 3 factorial + x décima entre 5 factorial menos x a la 14 entre 7 factorial y ya con esto resolvemos la segunda parte del inciso a de este problema 6