Examen AP Calculus BC, 2015. Pregunta 2b

parte ven para hacer un menor que ten menor que uno existe un punto en la curva cuya recta tangente tiene una pendiente que toma el valor de dos para que tiempo t la partícula se encuentran en ese punto bueno si la pendiente de la recta tangente es de 2 aquí dicen toma el valor de 2 eso quiere decir que entonces la derivada de james esto con respecto a x esto tiene que ser igual a 2 ahora no nos dicen directamente cuánto es la derivada de con respecto a x pero si nos dan estos dos este de aquí es la derivada de x la derivada de x con respecto al tiempo es decir la componente x del vector velocidad es la tasa de cambio de x con respecto al y aquí tengo a la derivada de james con respecto al tiempo la derivada de james con respecto al tiempo es decir que la componente ya del vector velocidad es la tasa de cambio de james con respecto al tiempo y podemos usar a estos dos para averiguar la derivada de y con respecto a x porque qué pasa si tomas la derivada de james con respecto al tiempo ya esto lo divides entre la derivada de x con respecto al tiempo que pasa si te tomas esto como una división bueno yo espero que conceptualmente se entienda si ves estas diferenciales de esta forma si las ves como fracciones tradicionales bueno los de test se van a cancelar y entonces te quedarás con la derivada de james con respecto a x no es así ahora si lo quieres pensar de una manera más formal puedes ir a la regla de la cadena qué pasa si te tomas la derivada de james con respecto al tiempo bueno pues esto es lo mismo que la derivada del yen con respecto a x por la derivada de x con respecto al tiempo estas dos expresiones son exactamente lo mismo esto tal cual viene de las reglas de la cadena déjame ponerlo viene de la regla de la cadena y bueno entonces si dividimos ahora de ambos lados entre la derivada de x con respecto a te observa que vamos a llegar justo a lo mismo vamos a llegar aquí a esta expresión original y para qué nos sirve esto bueno porque ya sabemos que la derivada del ye con respecto a t la tenemos acá arriba es la componente bien del vector velocidad y es en elevado a la 0.50 bien ya esto lo voy a dividir entre la derivada de x con respecto a t que es la componente x el vector velocidad y bueno es coseno coseno de tm elevado al cuadrado bien y esto va a ser igual a la derivada de ya con respecto a x pero nosotros queremos que esta derivada sea igual a 2 entonces esto lo vamos a hacer igualados ya déjame bajar un poco esta pantalla para poder terminar este inciso y ahora vamos a simplificar un poco esta expresión para que nos quede algo de la forma efe de x igual a 0 bueno en este caso será ft pero la calculadora resuelve este tipo de ecuaciones así que para hacer eso que te parece si multiplicamos de ambos lados por el coseno de t cuadrada y me va a quedar que es elevado a la 0.5 t es igual a dos veces el coseno de tm elevado al cuadrado bien y quiero esto igual a cero así que voy a pasar dos veces el coseno de cuadrada del otro lado o dicho de otra manera podemos restar dos veces el cociente cuadrada de ambos lados y me va a quedar que es elevado a la 0.5 t menos dos veces el coseno dt elevado al cuadrado esto va a ser igual a cero y esta ecuación que tengo aquí ya podemos meterla a la calculadora y así encontrar una t aproximada que sea la solución usando la función a solberg entonces déjame traer por acá la calculadora la tengo por acá y bueno vamos a hacer esta ecuación igual a cero así que para eso voy a irme a matt después a solver que es el número cero le voy a dar enter y me pide la ecuación cero igual y bueno voy a escribir todo en términos de x para que lo entienda la calculadora me va a quedar la función elevado a la 0.5 x ok a esto le voy a quitar dos veces el coseno de x elevado al cuadrado muy bien y esto tiene que ser igual a cero así que voy a presionar enter y me aparece esta pantalla de aquí y esta pantalla de aquí lo que me pide es que le dé un valor aproximado para que busque a x pero lo que me dice este problema es que te está entre 0 y 1 así que voy a ocupar esta información y voy a poner la calculadora a buscar cerca del valor de 0.5 que busque cerca de este a ver si encuentra una solución a esta ecuación así que para eso voy a apretar alfa y después sort y ahora se va a tardar un poco y ya está obtengo que te porque recuerda que t es nuestra incógnita tenemos aproximadamente tomar el valor de 0.84 a cero así que déjenme notarlo la solución de esta ecuación que tengo aquí es una t aproximada aproximada a 0.84 0 y ya está con esta te de aquí hemos acabado el problema