Examen AP Calculus BC, 2015. Pregunta 5a

considera la función fx igual a 1 entre x cuadrada menos k x donde k es una constante distinta de 0 la derivada de la función f está dada por f prima de x igual acá menos 2x / x cuadrada menos acá x todo esto elevado al cuadrado y está de lujo porque además nos dan la derivada eso es bastante agradable ya que nos ahorrará tiempo inciso a si acá vale 3 entonces fx es igual a 1 entre x cuadrada menos 3x observa que aquí en el valor de cap pusieron el valor de 3 muy bien escribe la ecuación para la recta tangente a la gráfica efe en el punto cuya coordenada x es 4 ahora bien si nos piden la ecuación de una recta bueno pues esta ecuación va a ser de la forma bien es igual m x + b donde m es la pendiente y p la intersección con el eje y ahora la pendiente de la recta tangente que queremos aquí es lo mismo que la derivada de ye con respecto a x evaluado en el punto que nos dan es decir nos dicen que x es igual a 4 entonces podemos decir que la pendiente en este caso va a ser igual a la derivada de la función evaluada en x igual a 4 y bueno si observas esto me va a quedar aquí tengo acá pero acá vale 3 entonces me quedarían tres menos dos por x pero estamos evaluando en x igual a 4 entonces me quedaría 2 x 4 muy bien ya esto lo vamos a dividir entre x cuadrada pero recuerda estoy evaluando en el punto x igual a 4 entonces me va a quedar 4 del cuadrado menos x bueno acá vale 3 y xv al de 4 en el punto donde estoy evaluando esto elevado al cuadrado y bueno lo único que hice es sustituir el valor de acá igual a 3 ene efe prima de x me quedaría 3 - 2 x entre x cuadrada menos 3 x todo eso elevado al cuadrado y después evalúen en x igual a 4 así que en lugar de x puse a 4 en su reemplazo y entonces esto que va a ser igual me queda 3 menos 8 y abajo me queda 16 y esto es 12 entonces 3 menos 8 eso es lo mismo que menos 5 y en la parte de abajo me va a quedar 16 - 12 es 4 al cuadrado es 16 bien lo podemos escribir así la pendiente en este caso va a ser menos 5 dieciseisavos bien ahora ya que tenemos a la pendiente como podemos encontrar también ave bueno pues para encontrar a ver vamos a usar las coordenadas cuando x vale 4 cuanto vale y entonces primero encontremos el valor del yen bueno pues ya es lo mismo que fx entonces me va a quedar efe de equis pero esta vez vamos a fijarnos en el punto donde x es igual a 4 por lo tanto vamos a buscar allí cuando x vale 4 ok entonces lo que voy a hacer es evaluar en esta función cuando x vale 4 y me va a quedar lo mismo que 1 entre bueno 4 al cuadrado lo cual es 16 menos 3 por 4 lo cual es 12 es decir que ya toma el valor de un cuarto cuando x vale 4 eso es muy importante y ahora que ya tenemos que llevarle un cuarto x vale 4 y que la pendiente vale menos 5 y 6 a vos entonces ahora vamos a buscar a ver y la vamos a buscar sustituyendo estos valores en esta ecuación que tengo aquí es decir me va a quedar que sí que vale un cuarto esto es igual a la pendiente que es menos cinco dieciseisavos que multiplica a equis pero x vale 4 + b lo único que hice fue primero usar a efe prima evaluada en 4 para así obtener la pendiente eso es muy importante entonces si acá vale a 3 y xv al 4 sustituir esos valores aquí yo obtuve estar pendiente y después me di cuenta que ya tenía x pero no tenía ayer y por lo tanto no podíamos obtener a ver pero para obtener alguien lo que hice fue recordar que es igual a fx pero lo quiero evaluado en este punto que es el punto que vive en mi recta tangente y entonces evalúe a fx cuando x vale 4 y lo hice justo aquí y entonces me quedo que ya valía un cuarto es decir cuando x vale 4 que vale 14 ok y ahora utilizo también la información de la pendiente la pendiente vale menos 5 dieciseisavos y así voy a obtener a ver y ya que tenga ya la pendiente ya tendré la ecuación de la recta así que hagámoslo aquí me va a quedar un cuarto es igual y aquí tengo menos 5 por 4 entre 16 bueno puede reducir un poco 4 entre 16 es un cuarto por menos 5 me va a quedar menos cinco cuartos ok más b eso quiere decir que va a ser igual y voy a sumar menos cinco cuartos de ambos lados y me va a quedar un cuarto este de aquí más 54 o dicho de otra manera b es lo mismo que seis cuartos o ver esto se puede reducir me quedaría tres medios o también lo podemos ver como 1.5 muy bien ya tengo a ver es este valor de aquí también ya tengo la pendiente que es esta que tengo aquí por lo tanto ya puedo escribir la ecuación de mi recta mi recta va a ser de la forma james es igual a la pendiente por equis pero ya sabemos que la pendiente vale menos cinco dieciseisavos esto que multiplica a x + b&b valen 1.5 ahora si lo queremos escribir todo en fracciones entonces podemos decir que ya es igual a menos cinco dieciseisavos de x más y bueno voy a poner tres medios porque 1.5 es lo mismo que tres medios y ya con esto hemos acabado esta es la ecuación de la recta tangente que estábamos buscando y con esto hemos acabado el inciso a