Examen AP Calculus BC, 2015. Pregunta 6b

parte ve escribe los primeros cuatro términos distintos de cero de la serie de mclaren para f prima la derivada de f expresa a efe prima como una función racional para el valor absoluto de x menor que el radio nuestro radio de convergencia y bueno anoté acá abajo en nuestra serie de maturín para que podamos trabajarla y ahora lo que vamos a buscar es la serie de matt loring para f prima así que déjenme anotarlo vamos a buscar la serie de matt loring la serie de marketing de marketing para efe prima de x es decir que si esta de arriba es mi fx mi función de x entonces lo que voy a hacer por aquí es tomarme la derivada de esa función y bueno esto me va a quedar lo mismo que la serie la serie desde n igual a uno hasta infinito de y bueno si esta es la expresión para mi función de x lo que voy a hacer es tomarme la derivada de esto y si observas es simplemente aplicar la regla de la potencia entonces tomas este exponente y lo multiplicas por el coeficiente que es todo esto de aquí pero observa si multiplicamos a n por todo esto entre n bueno n por 1 entre n se cancela y nos queda simplemente menos 3 3 esto elevado a la potencia en menos 1 y después hay que quitarle uno a nuestro exponente entonces nos quedan x elevado a la n 1 x elevado a la n menos uno y quiero ser muy claro en esto lo único que hice fue aplicar la regla de la potencia me tome esta potencia de aquí déjame atraparlo con este color me tome esta potencia de aquí y la multiplique por todo este coeficiente que tengo aquí y observa como tengo una n dividiendo y una n multiplicando esas dos se van a cancelar y simplemente me voy a quedar con menos 3 elevado a la enee menos uno que es esta parte de aquí y después hay que bajarle uno a la potencia entonces me va a quedar x elevado a la n menos 1 esta es una regla fundamental para las derivadas y es las primeras reglas que se aprenden al derivar entonces si queremos escribir los primeros cuatro términos distintos de cero para nuestra serie de mack loring de la derivada de fx entonces que nos va a quedar bueno primero quiero que observes que aquí tenemos la misma potencia en este y en este de aquí eso quiere decir que esto lo puedo escribir de la siguiente manera esto es lo mismo que tomarme la serie desde n igual a 1 desde n igual a 1 hasta infinito de y bueno en lugar de escribir estos dos por separado voy a unidos en un solo paréntesis menos 3x y voy a elevar todo a la n 1 muy bien esto es más fácil de trabajar y entonces esto va a ser aproximadamente aproximadamente porque recuerda solo nos vamos a tomar los primeros 4 términos distintos de cero de esta serie que tengo aquí y ahora sí sí queremos los primeros cuatro términos que me va a quedar y bueno no sesione que van aquí así que mejor lo voy a escribir acá abajo esto va a ser aproximadamente aproximadamente y que pasa cuando en er tal uno bueno cuando n vale 1 me va a quedar uno menos uno lo cual es cero y cualquier cosa elevada a la cero así que me va a quedar uno más y después que pasan cuando n vale 2 aquí me quedaría 2 - 1 lo cual es 1 y entonces tengo menos 3x elevado a la primera potencia lo cual bueno es menos 3x menos 3x y que pasa cuando n vale 3 bueno aquí me quedaría 3 - 1 lo cual es 2 y entonces tengo que elevar al cuadrado al menos 3 x lo cual es bueno menos 3 al cuadrado es 9 positivo y después me quedaría x cuadrada muy bien y qué pasa cuando n vale 4 aquí me va a quedar 4 menos uno lo cual es 3 y menos 3 x al cubo es lo mismo que menos 27 x ubica perfecto así que ya está esta es la primera parte de este inciso escribe los primeros cuatro términos distintos de cero de la serie de mclaren para f prima aquí está y bueno ojo también podrías obtenerlos desde aquí es lo mismo que tomarnos la derivada de cada uno de estos y decir por ejemplo para los primeros cuatro términos que la derivada de x bueno esto es 1 la tengo justo aquí la derivada de menos tres medios de x cuadrada bueno eso es lo mismo por la derivada de una potencia bajamos la potencia y me quedan menos 3x y después puedes ver que la derivada de este de aquí de 3x cúbica es lo mismo que 9 x cuadrada la tenemos aquí y pasa lo mismo para el cuarto término podrías desarrollarlo y calcular su derivada bien ahora vayamos a la segunda parte que dice escribe a efe prima como una función racional para el valor absoluto d es menor que ere y bueno si suponemos que esta serie de aquí está serie de aquí convergen y bueno ya sabemos su radio de convergencia o más bien si suponemos que tratamos con una equis que tiene un radio de convergencia entonces esta serie de aquí déjame bajar un poco la pantalla para terminar este inciso entonces esta serie de aquí esta de aquí déjame escribirla de nuevo la serie desde igual a uno hasta infinito de bueno tengo menos 3 x esto elevado a la enee menos 1 quiero que observes que esto de aquí es exactamente lo mismo que tomarme una serie pero que ahora empieza en cero es decir me voy a tomar la serie desde n igual y ahora voy a empezar en cero desde n igual a cero hasta infinito y ahora lo que voy a hacer es bajarle uno al exponente es decir de menos 3 x elevado a la ella tal vez lo pueda reconocer de esta manera observa si n vale 1 en este caso me quedaría uno menos uno lo cual es cero y aquí si n vale cero entonces aquí me queda cero de manera directa entonces estas dos series son exactamente lo mismo lo único que hice fue cambiar el límite inferior de esta serie y ahora puedes reconocer a esta de aquí como una serie geométrica con una razón común 3x de menos 3x y bueno cual es la suma de una serie geométrica con una razón común conocida y bueno esto es exactamente lo mismo que me tomó el primer término de esta serie que ya lo sabemos es 11 ya eso lo divido entre 1 - la razón común pero nosotros ya sabemos que menos 3x esto de aquí es la razón común entonces me quedaría uno menos menos 3x y bueno menos menos 3 x eso lo podemos poner como uno más 3 x así que ya puedo decir que esta serie geométrica de aquí va a ser exactamente igual que esto que tengo aquí que es la respuesta de la segunda parte de este inciso y si esto te es poco familiar encargo que veas los vídeos de series geométricas porque lo único que hice fue aplicar la fórmula y si quieres saber cómo sé a esta fórmula lo cual es bastante divertido entonces ve a ver los vídeos al respecto de cualquier manera ahora podemos ver a esta serie que teníamos de mclaren como una serie geométrica de esta forma y suponiendo que nuestra x tiene un radio de convergencia entonces así es como se ve en nuestra serie a esto vamos a converger