2017 AP Calculus AB/BC 4a

esta vez vamos a trabajar con el famoso o tal vez infame problema de la papa del examen up el cálculo del 2017 y dice así en el tiempo de igual a cero una papa cocida se retira de la olla de la estufa y se deja enfriar en la cocina la temperatura interna de la papa es de 91 grados celsius en el tiempo de igual a cero ok esto es importante 91 grados celsius en el tiempo te iguala 0 y la temperatura interna de la papa es siempre mayor que 27 grados celsius para todo el tiempo te mayor que 0 este medio es importante es siempre mayor que 27 grados celsius para todo tiempo t mayor que 0 con esto podemos suponer que la temperatura ambiente del cuarto es de 27 grados celsius y es por eso que la temperatura de la papa se va a aproximar a esa temperatura pero siempre se va a mantener a una temperatura un poco más alta mientras te crece y crece y crece la temperatura interna de la papa en el tiempo t minutos puede ser modelada por h que satisface la ecuación diferencial la derivada de h con respecto a tema es igual a menos un cuarto que multiplica a h 27 donde hd tm se mide en grados celsius ok y 70 es igual a 91 bien aquí tengo mi ecuación diferencial y tengo que htc hero es igual a 91 ok antes de leer el inciso am vamos a entender que nos está diciendo esta ecuación diferencial y veamos si ésta es consistente con nuestra intuición para eso déjame dibujar por aquí unos ejes los voy a poner por aquí aquí tengo a mi gente y por acá tengo a mí es igual a http y bueno voy a suponer que por aquí tengo la temperatura ambiente que como ya sabemos es de 27 grados celsius así que déjenme anotarlo este de aquí es 27 grados celsius grados celsius ok y por acá tengo que mi papá en el tiempo te iguala 0 tienen una temperatura de 91 grados celsius ok y lo que esperamos de manera intuitiva es que la papa empiece a enfriarse y cuando hay una gran diferencia entre la temperatura de la papa y del cuarto la tasa de cambio estará más empinada es decir vamos a tener una tasa de cambio más empinada cuando tengamos una gran diferencia de temperatura y entre más nos acerquemos a la temperatura del ambiente la temperatura de la papa va a tener una tasa de cambio menos inclinada y se va a ver algo más o menos así tenemos como assín total a la temperatura del ambiente de 27 grados celsius de lujo y esta ecuación diferencial que tengo aquí es consistente con eso observa que la tasa de cambio para todas t mayor que 0 nos da un valor negativo como nuestra temperatura es mayor que 27 entonces esta diferencia va a ser algo positivo y cuando lo multiplicamos por un número negativo me va a dar una tasa de cambio negativa lo cual tiene muchos porque la papa se está enfriando y también tiene sentido que la tasa de cambio sea proporcional a la diferencia entre la temperatura interna de la papa y la temperatura ambiente cuando existe una gran diferencia esperamos que la tasa de cambio sea más empinada y cuando hay una diferencia muy pequeña esperamos que la tasa de cambio que puedas ver sea menos y menos y menos empinada de manera que se aproxime a la cim total de la temperatura del ambiente bien ahora con este principio es momento de leer el primer inciso escribe una ecuación para la recta tangente a la gráfica h entre igual a cero usa esa ecuación para aproximar la temperatura interna de la papa en el tiempo t igual a 3 así que qué vamos a hacer vamos a pensar qué es lo que ocurre entre igual a 0 es decir vamos a ver qué es lo que está pasando justo aquí y lo que vamos a hacer es fijarnos en la recta tangente a s que se va a ver más o menos así va a ser una recta que se vea más o menos así esta va a ser mi recta tangente en el tiempo de igual a cero y como sabemos que es una recta entonces podemos decir que su ecuación va a ser de la forma bien igual a la pendiente de mi recta tangente que ya sabemos que es la derivada de h con respecto al tiempo la derivada de h con respecto al tiempo esto evaluado en el tiempo e igual a 0 que va a multiplicar ate ya esto hay que sumarle bueno la intersección con el eje i pero si observas ínter secamos al eje y james en el valor de 91 de 91 grados celsius entonces a esto le voy a sumar 91 y ahora cuando te es igual a cero quiero saber cuánto vale esta derivada es decir a esto de aquí lo podemos ver también como h prima de t y por lo tanto si busco h prima de 0 esto me va a quedar igual a menos un cuarto ok que va a multiplicar a h de 0 a nuestra temperatura inicial -27 ok pero sabemos cuánto vale nuestra temperatura inicial nos lo dicen es este punto de aquí y por lo tanto esto vale 91 y ahora sí me queda 91 menos 27 eso es 64 64 entre 4 es lo mismo que en 16 y por este signo menos me quedan menos 16 ok entonces ya sé que la derivada de h con respecto al tiempo en el tiempo está igual a 0 es menos 16 así que en lugar de esto voy a poner menos 16 y ya con esto tengo la ecuación para la recta tangente a la gráfica h en el tiempo e igual a cero es más déjame escribirla de nuevo un pequeño redoble de tambor porque esta va a ser bien igual a menos 16 ok más 91 de lujo después me dicen usan esa ecuación para aproximar la temperatura interna de la papa en el tiempo tema igual a 3 así que si por aquí tengo el tiempo de igual a 3 entonces mi función toman el valor que tengo aquí sin embargo queremos aproximar la temperatura que describe este modelo con la ecuación de la recta tangente ente igual a 3 es decir evaluar la justo aquí y por lo tanto vamos a evaluar esta recta entre igual a 3 así que vamos a obtener menos 16 que multiplica a 3 ok esto más 91 y cuánto es esto viene 3 por 10 y 648 y este signo menos me queda menos 48 ok y ahora tengo menos 48 más 91 eso es lo mismo que 43 43 grados celsius por lo tanto esta de aquí es mi ecuación para mi recta tangente en el tiempo de igual a 0 y por acá tenemos la aproximación usando esta recta tangente para la temperatura interna de mi papá en el tiempo de igual a 3 en el siguiente vídeo vamos a continuar con el inciso b