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2017 AP Calculus AB/BC 4b

Problema sobre papas del examen AP de 2017 (pregunta 4, parte b). Usar la regla de la cadena para calcular la segunda derivada para pensar sobre la concavidad.

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Transcripción del video

vamos a hacer la parte del problema de la papa y dice usan la segunda derivada de h con respecto al tiempo para determinar si la respuesta del inciso am es una sobreestimación o una subestimación de la temperatura interna de la papa en el tiempo te igual a 3 así que recuerda en la parte am encontramos la ecuación de la recta tangente que era esta que tengo aquí en el tiempo de igual a cero y lo que hicimos fue usarla para estimar el valor de la temperatura interna de la papa en el tiempo de igual a 3 ahora como es que la segunda derivada nos va a ayudar a saber si ese valor era sobreestimado o subestimado 20 igual a 3 bueno es que la segunda derivada nos ayuda a conocer la concavidad es decir podemos saber si la pendiente de la recta tangente de nuestra curva está creciendo o está decreciendo y podemos usar esa información para saber si estamos sobreestimando o subestimando este valor así que qué te parece si primero calculamos la segunda derivada y para eso voy a traer por acá a la primera derivada déjame ponerla por aquí y bueno vamos a buscar la segunda derivada ahora lo que me doy cuenta es que de aquí puedo distribuir este menos un cuarto es decir esto es exactamente lo mismo que la derivada de h con respecto al tiempo ok de bueno de menos un cuarto d h ok de hdt más o menos por menos es más veintisiete cuartos ok y ahora hay que derivar esta expresión observa lo único que hice fue multiplicar menos un cuarto tanto por esto como por esto ok ahora sí vamos a encontrar la segunda derivada y la segunda derivada de h ok con respecto al tiempo ambas veces va a ser igual y bueno hay que derivar esta expresión que tengo aquí y ahora vamos a derivar este primer término con respecto a tema es decir me va a quedar la derivada de menos un cuarto de h con respecto a tema que va a ser la derivada de menos un cuarto de h con respecto a h lo cual es simplemente menos un cuarto menos un cuarto ok que va a multiplicar a la derivada de h recuerdan es una función de t a la derivada de h con respecto a tiempo lo cual es simplemente la derivada de h con respecto a t esto es simplemente aplicar la regla de la cadena esto sale de la regla de la cadena y después tengo la derivada de una constante con respecto a t bueno simplemente es cero así que no voy a escribir nada aquí y ahora que nos está diciendo todo esto como vimos en el vídeo anterior si nos preocupamos por este intervalo en el cual t es más grande que 0 entonces puedes verlo aquí en la gráfica la temperatura interna de la papa siempre va a ser más grande que 27 observa eso quiere decir que esta expresión que tengo aquí esto que tengo aquí va a ser siempre mayor o igual a 0 porque un número que es más grande que 27 menos 27 es un número positivo pero después al multiplicarlo por este menos un cuarto voy a obtener un valor negativo así que algo positivo por algo negativo me va a dar algo negativo y entonces puedo decir que tanto esto de aquí o bueno está de aquí los cuales son iguales ambas déjame ponerlo está y está son negativas déjame ponerlo así como h es más grande que 27 de mayor que 0 ok entonces esto quiere decir que la derivada de h con respecto a t es negativa ok y ahora también podemos decir que como como ya sabemos que esta derivada es negativa como la derivada de h con respecto a t es negativa para todas t mayor que 0 para mayor que 0 entonces la segunda derivada de h con respecto a ti ok esta va a ser positiva porque observa tengo algo negativo que está x algo negativo y me da algo positivo entonces algo negativo por algo negativo me da algo positivo para todas t mayor que 0 para t mayor que es 0 ok y esto qué significa bueno si mi segunda derivada es positiva esto quiere decir que tenemos una concavidad hacia arriba así que déjame poner una concavidad hacia arriba lo que quiere decir que nuestra pendiente está creciendo nuestra pendiente y está creciendo o lo que es lo mismo nuestra pendiente es cada vez menos negativa así que vamos a escribirlo también nuestra pendiente es menos negativa y bueno qué significa todo esto lo podemos ver aquí como la pendiente de mi recta tangente se hace cada vez menos y menos y menos negativa entonces para nuestra aproximación para t igual a 3 usamos una recta con una pendiente muy negativa cuando en realidad nuestra pendiente de la recta tangente es cada vez menos y menos y menos negativa es decir que lo que hicimos en esta aproximación pues sobre decrecer la temperatura de t igual a cero igual a tres lo que significa que subestimamos en nuestra aproximación así que déjame ponerlo esto implica ok subestimamos en el inciso y si estuviéramos en el examen ap intentaría expresar mi respuesta de una manera más clara pero espero que para ustedes esto tenga sentido en el siguiente vídeo vamos a resolver la parte sep y última