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2017 AP Calculus AB/BC 4c

Un problema sobre unas papas del examen AP de 2017 (pregunta 4, parte c). Encontrar una solución particular de una ecuación diferencial separable.

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Transcripción del video

ahora trabajaremos el inciso c del problema de la papa que dice un modelo alternativo cuando te es menor que 10 para la temperatura interna de la papa en el tiempo t en minutos es la función g que satisface la ecuación diferencial y aquí tengo esta ecuación diferencial donde je t'aime está dado en grados celsius y g de 0 es igual a 91 encuentran la expresión paraje de t con base en este modelo cuál es la temperatura interna de la papa en el tiempo de igual a 3 bueno nos dan una ecuación diferencial y nos piden que encontremos una expresión paraje de t esto es lo que nos están pidiendo es decir esencialmente nos piden la solución de esta ecuación diferencial y después nos piden que usemos esa solución para encontrar la temperatura ente igual a 3 ahora lo primero que quiero que apreciemos es que esto entra en una clase de cálculo por lo tanto si te piden que resuelvas una ecuación diferencial o que des la solución a una ecuación diferencial entonces debe de ser una ecuación diferencial muy fácil de resolver no debe de ser tan complicada lo más lógico es que sea una ecuación diferencial separable y ya que encontremos la solución entonces podemos evaluar la gente igual a 3 así que qué te parece si reescribimos esta ecuación diferencial y vamos a resolverla y después a evaluarla ok tengo que la derivada de g con respecto a t esto es igual a menos que menos 27 esto elevado a las dos tercios entonces si ésta es una ecuación diferencial separable lo que quiero es separar a deje ya de t entonces voy a multiplicar de ambos lados por de t ok también de este lado por de t ok y entonces me va a quedar que estos dos se van tengo dejé ok igual a menos que menos 27 a la dos tercios esto que multiplica a dt lo que estoy intentando es llevar todas las que es del lado donde está dejé y todas las tres del lado donde están dt así que qué te parece si divido a ambos lados entre g - 27 elevado a las dos tercios entonces voy a dividir de este lado entre g - 27 elevado a las dos tercios y voy a hacer lo mismo de este lado voy a dividir esto entre g -27 ok esto elevado a la dos tercios y entonces me va a quedar bueno del lado izquierdo me va a quedar g -27 elevado a la menos dos tercios ok a la menos dos tercios que multiplican adeje va a ser igual y observa estos dos se van y me va a quedar simplemente menos dt no olvides este signo menos me va a quedar menos dt ok y ahora podemos integrar de ambos lados así que déjame ponerlo voy a integrar de ambos lados tanto de este lado como de este lado y que obtengo bueno observan tengo la integral de esta expresión que tengo aquí entonces puedes intentar hacer un cambio de variable y decir que uno es igual a menos 27 y por lo tanto de un es igual a deje o simplemente reconocer que la derivada de g menos 27 con respecto a g es simplemente 1 por lo tanto puedo ponerlo aquí es 1 ok 1 que multiplicaría a todo esto y por lo tanto puedo integrar con respecto a g menos 27 y usar simplemente la inversa de la regla de la potencia es decir esto me quedaría en menos 27 - 27 elevado a la potencia menos dos tercios más uno bueno menos dos tercios más uno es lo mismo que un tercio ok elevado a la potencia un tercio ya esto hay que dividirlo entre un tercio pero ojo dividir entre un tercio es lo mismo que multiplicar por tres entonces voy a multiplicar por tres y esto va a ser igual ok a la integral de menos de temp es como si tuviéramos un 1 aquí menos uno de t lo cual es simplemente menos t y para terminar bien vamos a sumarle una constante de integración ok ahora cómo resolvemos para hacer bueno usando la información que nos dan porque nos dicen que g de 0 es igual a 91 es decir que cuando te es igual a 0 que es igual a 91 y podemos así obtener el valor de s es decir esto me va a quedar como 3 que multiplica a gm pero cuando te es igual a cero es igual a 91 entonces 91 menos 27 ok esto elevado a la un tercio y esto va a ser igual a ten pero te vale 0 entonces podremos poner aquí cero o simplemente no ponerlo y va a ser igual a ser que es lo que buscamos el valor de esta c y bueno cuantos esto tengo 91 27 eso es 64 entonces estos 64 elevado a la un tercio bueno eso es simplemente 4 entonces esto elevado de un tercio es 4 y 4 por 3 es 12 entonces puedo decir que es igual a 12 y aquí en lugar de estas en poner el valor de 2 muy bien ahora vamos a buscar la expresión para que dt que esencialmente es despejar de aquí ag déjame decir que voy a continuar por acá ok y ahora qué te parece si te pido de ambos lados entre 3 si / de ambos lados entre 3 de este lado me va a quedar simplemente que menos 27 ok -27 esto elevado a un tercio y esto va a ser igual a bueno menos de entre 3 déjame ponerlo menos tema entre 3 y después tengo 12 entre 3 lo cual es simplemente 4 + 4 ok y ahora se me ocurre que puedo elevar de ambos lados al cubo si el nuevo de este lado al cubo me va a quedar simplemente en que menos 27 y del lado derecho me queda esto elevado al cubo así que déjame ponerlo me queda menos de entre 3 menos de entre 34 ok esto elevado al cubo ok ahora puedo sumar 27 de ambos lados y ahora si voy a obtener kg o dicho de otra manera je t'aime porque es una función del tiempo es igual y ahora si un redoble de tambor porque ya puedo decir que es lo mismo que menos te entre 3 a esto sumarle 4 ok elevado al cubo y sumarle 27 y ahora si puedo decir que he encontrado la primera parte de este problema que me decía encuentran una expresión para tdt es decir acabamos de encontrar esta parte de aquí en efecto fue una ecuación diferencial separable en la que con un poco de álgebra llegamos al resultado integramos y encontramos la solución general y con la condición inicial de que gt 0 es igual a 91 encontramos la solución particular que nosotros buscábamos ahora hagamos la otra parte que es la parte más fácil dicen con base en este modelo cuál es la temperatura interna de la papa en el tiempo pero igual a 3 bueno pues vamos a hacerlo queremos saber cuánto es que de 3 bueno es simplemente sustituir a t por 3 me va a quedar menos 3 entre 3 + 4 esto elevado al cubo y después le sumamos 27 bueno menos 3 entre 3 es simplemente menos 1 ok menos 14 todo esto es simplemente 33 elevado al cubo es 27 más 27 es 54 54 grados celsius y hemos acabado todo el problema de la papa