Interpretar un intervalo z para una proporción

Una vez que construimos un intervalo de confianza para una proporción, es importante ser capaces de interpretar lo que nos dice el intervalo acerca de la población, así como lo que no nos dice. Veamos algunos ejemplos que muestran cómo interpretar un intervalo de confianza para una proporción.

Ahmad vio un reportaje en el que afirmaban que el $57\mathrm{\%}$‍ de los adultos piensa que en Estados Unidos es necesario un tercer partido político principal. Tenía curiosidad de cómo se sentían al respecto los estudiantes de su gran universidad, por lo que preguntó lo mismo a una muestra aleatoria de $100$‍ estudiantes e hizo un intervalo de confianza del $95\mathrm{\%}$‍ para estimar la proporción de estudiantes que estaba de acuerdo en que era necesario un tercer partido político principal. Su intervalo resultante fue $(0.599,0.781)$‍. Supón que se cumplen todas las condiciones para inferencia.

No, no lo es. El intervalo dice que los valores posibles para la verdadera proporción están entre $59.9\mathrm{\%}$‍ y $78.1\mathrm{\%}$‍. Como el intervalo no contiene $57\mathrm{\%}$‍, no parece posible que el $57\mathrm{\%}$‍ de los estudiantes de esta universidad esté de acuerdo. En otras palabras, el intervalo completo está por arriba de $57\mathrm{\%}$‍, por lo que es probable que la verdadera proporción en esta universidad sea más alta.

La hermana de Ahmad, Diedra, tenía curiosidad de cómo los estudiantes en su escuela secundaria grande responderían a la misma pregunta, así que preguntó lo mismo a una muestra aleatoria de $100$‍ estudiantes en su escuela. También hizo un intervalo de confianza del $95\mathrm{\%}$‍ para estimar la proporción de estudiantes en su escuela que estaría de acuerdo en que se necesita un tercer partido político. Su intervalo fue $(0.557,0.743)$‍. Supón que se cumplen todas las condiciones para inferencia.

Sí. Como el intervalo contiene $57\mathrm{\%}$‍, es un valor posible para la proporción poblacional.

No. Los intervalos de confianza no nos dan evidencia de que un parámetro sea igual a un valor específico; nos dan una gama de valores posibles. El intervalo de Diedra indica que la verdadera proporción de estudiantes que está de acuerdo podría ser tan baja como $55.7\mathrm{\%}$‍ o tan alta como $74.3\mathrm{\%}$‍, y que los valores fuera de este intervalo no son probables. Por lo tanto, no sería apropiado decir que este intervalo admite el valor de $57\mathrm{\%}$‍.

En un videojuego a los jugadores se les da una recompensa de monedas de oro después de vencer a un enemigo. Los creadores del juego quieren que los jugadores tengan la oportunidad de ganar monedas de bonificación cuando derrotan a cierto enemigo desafiante. Los creadores intentan programar el juego para que la bonificación se otorgue aleatoriamente con una probabilidad de $30\mathrm{\%}$‍ después de que el enemigo sea derrotado.

Para ver si la bonificación se otorga según lo previsto, los creadores derrotaron al enemigo en una serie de $100$‍ intentos (están dispuestos a tratar esto como una muestra aleatoria). Después de cada intento, registraron si se otorgó o no la bonificación. Utilizaron los resultados para construir un intervalo de confianza del $95\mathrm{\%}$‍ para $p$‍, la proporción de intentos que serán recompensados con el bono. El intervalo resultante fue $(0.323,0.517)$‍.

Los creadores del videojuego también quieren que los jugadores tengan una oportunidad de ganar un objeto poco común cuando derrotan a un enemigo desafiante. Los creadores intentan programar el juego para que este objeto se otorgue aleatoriamente con una probabilidad de $15\mathrm{\%}$‍ cuando se derrota al enemigo.

Para ver si la bonificación se otorga según lo previsto, los creadores derrotaron al enemigo en una serie de $100$‍ intentos (están dispuestos a tratar esto como una muestra aleatoria). Después de cada intento, registraron si el objeto poco común se otorgó o no. Utilizaron los resultados para crear un intervalo de confianza del $95\mathrm{\%}$‍ para $p$‍, la proporción de intentos que serían recompensados con el objeto poco común. El intervalo resultante fue $0.12\pm 0.06$‍.