El intervalo de confianza para la pendiente de una recta de regresión

mario está interesado en la relación entre las horas de estudio invertidas y el consumo de cafeína de los estudiantes de su escuela aleatoriamente selecciono 20 estudiantes de su escuela y registro su consumo de cafeína en miligramos y la cantidad de tiempo que dedican a estudiar en una semana dada aquí tenemos la información registrada en la computadora del análisis de la regresión de mínimos cuadrados de su muestra supón que se satisfacen todas las condiciones para la inferencia cuál es el intervalo de confianza del 95% para la pendiente de la recta de regresión de mínimos cuadrados si se sienten inspirados pause en el vídeo y vean si pueden resolverlo al final lo haremos juntos bueno primero entendamos qué es lo que está pasando vamos a visualizar la regresión el eje horizontal o eje x corresponde al consumo de cafeína y el eje vertical es decir el eje que corresponde al tiempo de estudio en horas ahora mario seleccionó aleatoriamente 20 estudiantes y para cada uno registró la cantidad de cafeína que consumió junto con la cantidad de tiempo que estudió y lo gráfico aquí por lo tanto obtuvo 20 datos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ingreso todos estos puntos en la computadora para poder ajustarlos a una recta de regresión de mínimos cuadrados supongamos que la recta de regresión de mínimos cuadrados se ve así una recta de regresión de mínimos cuadrados sale de tratar de minimizar la distancia al cuadrado entre la recta y todos estos puntos y esto nos da la información de esa recta de regresión de mínimos cuadrados aquí lo más valioso si realmente queremos entender la recta lo más valioso es lo que tenemos en esta columna el coeficiente constante nos dice cuál es el valor de la ordenada al origen que en este caso es de 2.544 y el coeficiente de la cafeína nos lleva a pensar en que tanto aumenta el tiempo de estudio por cada incremento de cafeína o tal vez lo reconozcan como la pendiente de la recta de la regresión de mínimos cuadrados entonces esta es la pendiente y en este caso es igual a cero punto 164 ahora esta información nos dice que también se ajusta la recta a los datos tal vez ya estén familiarizados con la erre cuadrada que se refiere a que tanto de la varianza en la variable que se explica por la variable x si esto fuera 1 o 100% esto significa que todo puede ser explicado sería un buen ajuste pero si fuera 0 eso significa que no puede ser explica y por lo tanto sería un ajuste muy mal por otro lado s mayúscula es la desviación estándar de los residuos y es otra medida de que tanto varían estos puntos respecto a la recta de regresión ahora esta columna demostrará que es útil para resolver la pregunta porque esto nos dice el error estándar del coeficiente y el coeficiente estadístico que realmente nos interesa es la pendiente de la recta de regresión mientras que esto nos da el error estándar de la pendiente de la recta de regresión podemos ver esto como la estimación de la desviación estándar de la distribución muestral de la pendiente de la recta de regresión recuerden que en este caso tenemos una muestra de 20 estudiantes y calculamos un estadístico que es la pendiente de la recta de regresión cada vez que hagan una muestra diferente obtendrán una pendiente diferente y está pendiente es una estimación de algún parámetro verdadero en la población a esto se le llama error estándar de la pendiente de la recta de regresión de mínimos cuadrados y finalmente no tenemos que preocuparnos por estas dos últimas columnas en el contexto de este vídeo esto es muy útil cuando suponemos que no hay ninguna relación entre la cafeína consumida y el tiempo de estudio pero cuál es el estadístico t asociado para la estadística que ya calculamos y cuál sería la probabilidad de obtener algo tan extremo como esto o incluso más extremo suponiendo que no hay asociación por ejemplo suponiendo que la pendiente de la recta de regresión es 0 esto nos dice que si supusiéramos eso la probabilidad es de aproximadamente 1% y se refiere a la probabilidad de obtener estos resultados si realmente no existiera una relación entre la cafeína y el tiempo de estudio con todo eso dicho respondamos la pregunta para construir un intervalo de confianza al rey donde un estadístico tomamos el valor del estadístico que calculamos de la muestra que en este caso es 0 punto 164 y después tenemos más o menos el valor de crítico que lo obtendremos tomando como referencia el intervalo de confianza del 95% y los grados de libertad que los veremos en un momento y después lo multiplicamos por el error estándar del estadístico en este caso el estadístico que nos interesa es la pendiente y esto es 0 punto 0 57 entonces por cero punto 0 57 y la razón por la que usamos el valor de crítico en lugar del valor z crítico es porque nuestro error estándar del estadístico es una estimación en realidad no conocemos la desviación estándar de la distribución muestra lo último que necesitamos ahora es conocer el valor de crítico para eso podemos usar una calculadora o una yo usaré una tabla pero también necesitamos conocer los grados de libertad bueno cuando hacemos esto con una pendiente de regresión como en este caso los grados de libertad corresponden al número de datos que tengamos -2 así que en este caso corresponden a 20 menos 2 que es igual a 18 no entraré en muchos detalles por ahora porque para explicar por qué restamos 2 necesitaríamos otro vídeo aquí solamente nos interesa este valor de los grados de libertad para poder usar la tabla vamos a ver nos interesa el nivel de confianza del 95% y eso equivale a tener una cola de 2.5 por ciento en cada lado y en este caso tenemos 18 grados de libertad por lo tanto nuestro valor de crítico es 2.101 entonces nuestro intervalo de confianza del 95% será cero punto 164 más o menos nuestro valor te critico que es 2.101 por el error estándar del estadístico es decir 0 punto 0 57 si queremos conocer los valores exactos podemos usar una calculadora pero a una forma de interpretar un intervalo de confianza del 95% es que el 95% del tiempo que calculamos un intervalo de confianza del 95% se va atrás la par con el valor verdadero del parámetro que estamos estimando nos vemos en otro vídeo