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Contenido principal

La regla general de la multiplicación

Cuando calculamos las probabilidades de que ocurra un evento Y luego otro, multiplicamos la probabilidad de que ocurra cada uno.
En algunos casos, que el primer evento ocurra afecta la probabilidad del segundo evento. A estos los llamamos eventos dependientes.
En otros casos, que el primer evento ocurra no afecta la probabilidad del segundo evento. A estos los llamamos eventos independientes.

Eventos independientes: lanzar una moneda dos veces

¿Cuál es la probabilidad de lanzar una moneda justa y obtener "águila" dos veces seguidas? Es decir, ¿cuál es la probabilidad de obtener águila en el primer volado Y águila en el segundo?
Imagina que 100 personas simulan esto y lanzan una moneda dos veces. En promedio, 50 personas obtendrán águila en el primer volado, y luego 25 de ellos sacarán águila otra vez. Así que 25 de las 100 personas del inicio, o 1, slash, 4 de ellos, obtendrán dos águilas seguidas.
El número de personas que hay al inicio realmente no importa. Teóricamente, 1, slash, 2 del grupo original obtendrá águila, y 1, slash, 2 de ese grupo obtendrá otra águila por segunda vez. Para encontrar una fracción de una fracción, multiplicamos.
Podemos representar este concepto con un diagrama de árbol, como se muestra a continuación.
Multiplicamos las probabilidades a lo largo de las ramas para encontrar la probabilidad general de que ocurran un evento Y el siguiente.
Por ejemplo, la probabilidad de obtener dos "soles" seguidos sería:
P, left parenthesis, start text, S, space, y, space, S, end text, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, dot, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction
Cuando dos eventos son independientes, podemos decir que
P, left parenthesis, start text, A, space, y, space, B, end text, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, start text, A, end text, right parenthesis, dot, P, left parenthesis, start text, B, end text, right parenthesis
¡Se cuidadoso! Esta fórmula solo se aplica a eventos independientes.

Problema de práctica 1: tirar dados

Supón que vamos a tirar dos dados justos de 6 caras.
problema 1
Encuentra la probabilidad de sacar 3 en los dos dados.
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Eventos dependientes: sacar cartas

Podemos usar una estrategia similar aun cuando se trate de eventos dependientes.
Considera sacar dos cartas, sin reemplazo, de una baraja de 52 cartas. Eso significa que sacamos la primera, la dejamos a un lado, y luego sacamos otra.
¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas seleccionadas sean negras?
La mitad de las 52 tarjetas son de color negro, por lo que la probabilidad de que la primera carta sea negra es de 26, slash, 52. Pero la probabilidad de obtener una tarjeta negra cambia la segunda vez que sacamos la carta, ya que tanto el el número de cartas negras como el número total de cartas ha disminuido en 1.
Aquí está cómo se verían las probabilidades en un diagrama de árbol:
Por lo que la probabilidad de que ambas cartas sean negras es:
P, left parenthesis, start text, a, m, b, a, s, space, n, e, g, r, a, s, end text, right parenthesis, equals, start fraction, 26, divided by, 52, end fraction, dot, start fraction, 25, divided by, 51, end fraction, approximately equals, 0, point, 245

Problema de práctica 2: elegir estudiantes

En una tabla de 5 estudiantes hay 3 de último grado y 2 de primer ingreso. El profesor va a elegir 2 estudiantes de este grupo aleatoriamente para que presenten las soluciones de una tarea.
problema 2
Encuentra la probabilidad de que dos estudiantes seleccionados sean de primer ingreso.
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La regla general de la multiplicación

Para dos eventos cualesquiera podemos decir que
P, left parenthesis, start text, A, space, y, space, B, end text, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, start text, A, end text, right parenthesis, dot, P, left parenthesis, start text, B, end text, vertical bar, start text, A, end text, right parenthesis
La barra vertical en P, left parenthesis, start text, B, end text, vertical bar, start text, A, end text, right parenthesis significa "dado", así que esto también podría leerse como "la probabilidad de que ocurra B dado que A ha ocurrido".
Esta fórmula implica que podemos multiplicar las probabilidades de dos eventos, pero es necesario tener en cuenta el primer evento al considerar la probabilidad del segundo evento.
Si los eventos son independientes, que uno ocurra no impacta la probabilidad del otro y, en ese caso, P, left parenthesis, start text, B, end text, vertical bar, start text, A, end text, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, start text, B, end text, right parenthesis.