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Varianza de una variable binomial

Derivar las fórmulas de la varianza y la desviación estándar para variables aleatorias binomiales.

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Transcripción del video

en este vídeo vamos a continuar nuestra travesía por el conocimiento de las variables binomial es esta vez intentaremos saber cuánto vale la varianza de la distribución de una variable binomial al igual que en el vídeo pasado tengo esta variable binomial x que es vista de manera general es el número de éxitos después de en ejecución es donde la probabilidad de éxito para cada ejecución independiente es p por lo tanto la probabilidad de éxito en una ejecución no depende de la probabilidad de éxito en las otras ejecuciones también vimos en el vídeo pasado que el valor esperado de esta variable aleatoria es n por t déjame recordarlo y ponerlo por aquí el valor esperado de esta variable aleatoria x es el número de ejecuciones por la probabilidad texto de cada ejecución ok y esta expresión lo obtuvimos considerando esta variable binomial como la suma de n veces una nueva variable aleatoria llamada bien como puedes ver es una variable de berlín para esta variable james la probabilidad de que jesse igual a 1 es de pep es decir de obtener un éxito y la probabilidad de fracaso es decir de que sea igual a 0 era de 1 - p por lo tanto puedes ver que las salidas de james son 0 o 1 y eso es lo mismo hay que tener un éxito o un fracaso en cada ejecución de x y ahora si sumas n bs obtienes en jeff y esto nos serviría para obtener el valor esperado de x que fue lo que hicimos en el vídeo pasado esto es un repaso el valor esperado de x salen del valor esperado de james que es muy fácil de calcular déjame ponerlo acá arriba el valor esperado de james es igual a bueno como sólo tenemos dos posibles salidas es simplemente la probabilidad de p de obtener uno déjame ponerlo la probabilidad de p debe obtener 1 me lo voy a poner con este color ok ya esto sumarle la probabilidad de 1 - p déjame ponerlo aquí la probabilidad de 1 - p ok de obtener 0 por 0 y si ahora observas esto de aquí es simplemente cero y me queda que el valor esperado de este es simplemente p por 1 lo cual es p ok y con esto deseamos que por la propiedad de la suma del valor esperado el valor esperado de x es igual a la suma de todos estos valores esperados es decir a la suma de todos los valores esperados de cada quien y por lo tanto decíamos que el valor esperado de x esto era igual a veces a veces el valor esperado de que el valor esperado de ser que como ya vimos es pep y entonces concluyamos que esto era igual a n por p que era justo a lo que queríamos llegar y esta era la forma de demostrar esta igualdad que tengo aquí y ahora vamos a aplicar la misma idea para obtener la varianza de x la varianza de x va a ser igual a la suma de las varianzas de éstas en ejes así que de manera similar déjame escribirlo aquí la varianza de x va a ser igual a n veces la varianza de que así que lo voy a poner así nps es la varianza de g y ahora nos tenemos que preguntar cuánto vale la varianza de james bueno qué te parece si la obtenemos de este lado la varianza de g va a ser igual a quien bueno va a ser el valor esperado de los residuales al cuadrado así que tengo la probabilidad en déjame ponerla la probabilidad pm que multiplica a un residual elevado al cuadrado y la pregunta es cuál es este residual bueno en el primer caso tenemos a uno menos el valor esperado que como ya vimos en este caso es vean es decir 1 - p esto elevado al cuadrado esto para la primera salida posible el residual al cuadrado por el peso de su probabilidad ahora para la segunda entrada posiblemente tengo una probabilidad déjame ponerlo más una probabilidad de 1 - p está para mi segunda entrada que va a multiplicar a un residual al cuadrado y quien va a ser este residual bueno va a ser el valor que toman 0 ya esto le vamos a quitar el valor esperado que es p y esto lo vamos a elevar al cuadrado y ahora podemos simplificar un poco todo esto si lo simplificó me va a quedar que esto es igual a ap que multiplica a 1 - p esto elevado al cuadrado más y aquí tengo cero menos pm elevado al cuadrado bueno eso es p cuadrada que multiplica a 1 - p y ahora de todo esto puedo factorizar una p que multiplican a 1 - p ok y esto a su vez está multiplicando a quien vienen veamos aquí me quedan 1 p 1 - p y acá me quedan más p de lujo y ahora observa menos p más p estos dos se van así que todo esto es simplemente 1 y ya puedo decir que esto se simplifica simplemente ap por 1 - p de lujo por cierto esta es la varianza de una variable binomial de hecho esto ya lo probamos en otros vídeos no estaría mal que los revisadas entonces ya lo tenemos en lugar de la varianza de gem voy a poner p que multiplican a 1 - p muy bien y ahora es cuando debería de sonar un redoble de tambor porque ya podemos decir que la varianza de x va a ser igual a que multiplican ap por 1 p perfecto y ahora qué te parece si regresamos al ejemplo concreto del vídeo pasado donde n eran 10 tiros penales eran 10 tiros penales es decir que cada ejecución es un tiro penal y además teníamos una probabilidad de meter un gol de 0.3 es decir un 30% de anotar un gol cada vez que tirábamos un penal entonces en este caso puedo decir que la varianza de x está va a ser igual a él en que en este caso es 10 que va a multiplicar a la probabilidad que en este caso es de 0.3 ok que a su vez va a multiplicar a 1 - p por lo tanto 10.3 es 0.7 y entonces me quedan 10 0.3 por 0.7 es 0.21 y bueno eso es 2.1 así que está de lujo esta es mi varianza y si quisiera la desviación estándar simplemente tendría que tomar la raíz cuadrada de este valor o visto de una manera general tendrás que tomar la raíz cuadrada de esta expresión hasta la próxima