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Derivar la varianza de la diferencia de variables aleatorias

Transcripción del video

en este vídeo vamos a hablar acerca de la suma y la diferencia de la varianza de dos variables aleatorias por lo tanto voy a definir las voy a suponer que estas variables aleatorias van a ser equis y entonces x son para no olvidarlo dos variables aleatorias que son independientes dos variables aleatorias independientes eso es muy importante ya que si no fueran independientes no ocurriría a todos lo que vamos a construir bueno voy a retomar algunas cosas que ya habíamos visto en otros vídeos pasados para ello poder construir la suma en la diferencia de la varianza lo primero es que el valor esperado de x es igual a la media de x y de una manera completamente análoga para que como son independientes el valor esperado de la variable aleatoria es igual a la media de james recuerden que el valor esperado de una variable aleatoria es lo mismo que la media de esa misma variable aleatoria y bueno es también siguiendo con el recordatorio qué pasa con la varianza de una variable aleatoria de equis a pues esto era igual al valor esperado de quien de la diferencia entre la variable de la teoría x menos la media de x esto elevado al cuadrado el valor esperado de todo esto que también denota vamos con sigma cuadrada sin ma cuadrada de varianza pero de la variable aleatoria x es decir sigma cuadrada subíndice x es lo mismo que el valor esperado de la diferencia de x en la variable aleatoria x menos la media de x elevada al cuadrado y de hecho va a ser lo mismo para la varianza de ella y va a ser el valor esperado de la variable aleatoria y que menos la media de esa variable aleatoria y en este caso ye perdón aquí lo voy a corregir ahora si la varianza de la variable aleatoria es igual al valor esperado del cuadrado de la diferencia de la variable aleatoria y menos la media de la variable aleatoria y esto lo denota vamos con sigma cuadrada subíndice ya muy bien pero para encontrar la varianza de la suma de estas dos variables la torias primero voy a empezar a definir una nueva variable aleatoria esta variable aleatoria va a ser igual a z y la voy a llamar x + esperen voy a ponerlo todo de los calores correspondientes x era amarillo entonces z es igual a la variable del autor ya x sumado a la variable aleatoria y y bueno qué va a pasar lo primero que me voy a preguntar es qué pasa con el valor esperado de z es decir el valor esperado de x margen y bueno una de las propiedades del valor esperado es que el valor esperado de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de los valores esperados de cada una de las variables aleatorias y aunque este vídeo no es el enfoque para demostrar esta propiedad es muy fácil probarla deberían de intentarlo por lo tanto el valor esperado de z es igual al valor esperado de x más el valor esperado de iu o dicho de otra manera la media de la variable del autor ya z es igual a la media de la variable aleatoria x más la media de la variable aleatoria y bueno ahora la pregunta es ocurrirá lo mismo para la diferencia de variables aleatorias bueno para esto voy a definir como la variable la teoría x menos la variable aleatoria y ahora bien quién es el valor esperado de a pues bueno por definición es el valor esperado de x menos y bueno esto por la propiedad de la izquierda es lo mismo que el valor esperado de x más el valor esperado de menos que por cierto es lo mismo que el valor esperado de x menos el valor esperado de ye y bueno esto es lo mismo que la media de la variable aleatoria x menos la media de la variable aleatoria y que por cierto todo esto es lo mismo que la media de la variable delator ya que acabamos de definir la variable aleatoria a bueno espero que hasta aquí vayamos muy bien ahora vamos a preguntarnos qué pasa con la varianza primero voy a pensar en la varianza de z es decir lo que voy a buscar ahorita es la varianza de la suma de dos variables aleatorias para esto quiero recordar lo que acabamos de ver justo ahorita lo que vimos es que el valor esperado de z era igual al valor esperado de x más el valor esperado de y justo aquí lo tenemos la media de la variable delator ya z es lo mismo que la media de la aleatoria x más la media de la variable aleatoria y es decir el valor esperado de una suma de variables aleatorias es igual a la suma de los valores esperados por lo tanto siguiendo esta lógica quien sería la varianza de zeta vamos a escribirlo y vamos a irnos con un poco de cuidado aunque realmente ustedes ya pueden suponer quién es la varianza de esta nueva variable aleatoria que acabamos definir la varianza de z a quien sería igual marian za de z pues esto es lo mismo que la varianza de x + james pero si el valor esperado de la suma de dos variables aleatorias es la suma de los valores esperados de cada una de las variables aleatorias y además observamos que la varianza de una variable aleatoria está definida como el valor esperado de la diferencia de la variable aleatoria menos su media elevada al cuadrado suena muy lógico pensar que si tenemos una nueva variable doctor ya z su varianza va a ser igual a la suma de las varianzas es decir la apariencia de z es lo mismo que la varianza de x más la varianza de james y esto es muy claro porque recuerden que la que el valor esperado de x + era louis aunque el valor esperado de x más el valor esperado de la variable aleatoria y es decir la varianza en zeta o dicho de otra manera usando la otra anotación sigma cuadrada subíndice zeta es igual a ser más cuadrada subíndice x mayer esto por definición pero por lo que acabamos de ver esto es lo mismo que sigma cuadrada de x subíndice x más sigma cuadrada subíndice que es decir la varianza en x más la varianza en bien y bueno ya que tenemos la varianza de una suma de variables aleatorias que pasará con la diferencia de variables aleatorias podemos llegar a lo mismo o suponer lo mismo y bueno las respuestas que no hay que tener mucho cuidado porque no es tan obvio o tan fácil suponer que la varianza de una diferencia de variables aleatorias es la diferencia de cada una de las varias vamos a verlo con cuidado y vamos a corregirlo -quienes sigma cuadrada subíndice a bueno por definición es sigma cuadrada subíndice x menor y recuerden que la variable aleatoria a estaba definida como la diferencia de la variable aleatoria de x menos la variable aleatoria ayer ahora para utilizar la propiedad de la varianza de una suma de variables aleatorias voy a escribir esta misma varianza de la siguiente forma como signo cuadrada de x + - y utilizando propiedades de los signos esto lo hago porque ahora si podemos utilizar que la varianza de una suma de variables aleatorias es lo mismo que la suma de las varias as es decir sigma cuadrada subíndice x + - yen lo puedo escribir como sigma cuadrada subíndice x + sigma cuadrada subíndice menos james y ahora viene la pregunta correcta de este vídeo a quien es equivalente sigma cuadrada subíndice menos si yo puedo responder la varianza de menos yo ya tengo la solución de este problema espero que hasta aquí vaya todo claro porque es justo en este momento donde voy a hacer el truco de este vídeo para yo poder calcular la varianza de menos voy a utilizar la definición de varianza es decir es el valor esperado del cuadrado de la diferencia de la variable aleatoria - el valor esperado de la variable aleatoria menor yo solamente estoy utilizando la definición de varianza y bueno vamos a simplificar un poco más todo este asunto lo primero que se me ocurre es actualizar un -1 para que me quede una suma en lugar de una diferencia es decir voy a obtener menos 1 elevado al cuadrado esto por la propiedad de dos números elevados al cuadrado menos uno elevado al cuadrado que multiplica a la variable aleatoria más el valor esperado de la variable aleatoria menos ojo del valor esperado de la variable a teoría menos jet todo esto elevado al cuadrado ya esto hay que sacarle el valor esperado ojos dese cuenta que como factores es solamente el menos uno me queda el valor esperado de la variable aleatoria menos y por lo tanto de hechos la pregunta que quiero resolver ahora que hace el valor esperado de la variable aleatoria menos y desde cuenta que esto es muy fácil de probar que es menos el valor esperado de la variable de atonía y es decir el valor esperado de menor que es igual a menos el valor esperado de iu y con esta observación y además cancelando en menos 1 al cuadrado que me da 1 obtengo que la varianza de menos y es igual al valor esperado del cuadrado de la diferencia de que menos el valor esperado de g es decir estoy sustituyendo que el valor esperado de menor y es igual a menos el valor esperado de ye que por cierto ya se dieron cuenta esto que tengo aquí es ni más ni menos que la varianza sub 26 james acabo de utilizar la definición de marian za y acabo de probar que la varianza de menos y es igual a la varianza de y por lo tanto ahora si puedo escribir qué pasa con la diferencia de variables aleatorias cuando yo calcula su varianza la varianza de x menor que es lo mismo que la varianza de x más la varianza de g es decir con lo que acabo de probar acabo de sustituir a la varianza de menos por la varianza de g y ahora si ya obtuve qué pasa con mi varianza de la diferencia de variables aleatorias que se dan cuenta por cierto la varianza de la suma de variables aleatorias es lo mismo que la varianza de la diferencia de variables aleatorias que por cierto es lo mismo que la varianza de más la varianza de la otra ojo recuerdan que todo lo que acabamos de construir lo construimos para variables aleatorias que fueran independientes la una de la otra y bueno para finalizar quiero mencionar que hubo dos datos importantes en todo esto lo primero es que si tomamos la media de la diferencia de dos variables aleatorias esto es la diferencia de cada una de las medias es decir la media de x menos y es igual a la media de x menos la media de lo segundo muy importante que acabamos de descubrir es que si nosotros tomamos la varianza de la diferencia de dos variables aleatorias es la suma de cada una de las varias de mis variables aleatorias no la diferencia es la suma de cada una de ellas espero que todo este procedimiento no haya sido muy confuso para ustedes y si lo fue ya tienen dos herramientas que pueden utilizar
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