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Estadística avanzada (AP Statistics)
Curso: Estadística avanzada (AP Statistics) > Unidad 8
Lección 7: Variables aleatorias geométricas- Introducción a las variables aleatorias geométricas
- Variables aleatorias geométricas contra binomiales
- La media y desviación estándar de la distribución geométrica
- Distribuciones geométricas
- Probabilidad para una variable aleatoria geométrica
- Probabilidad geométrica
- Probabilidad geométrica acumulativa (mayor que un valor)
- Probabilidad geométrica acumulativa (menor que un valor)
- Funciones geometpdf y geometcdf de la calculadora TI-84
- Probabilidad geométrica acumulativa
- Prueba de valor esperado de la variable aleatoria geométrica
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La media y desviación estándar de la distribución geométrica
Podemos calcular e interpretar la media y la desviación estándar para la distribución de una variable geométrica aleatoria y describir su forma. Creado por Sal Khan.
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Transcripción del video
Supongamos que vamos a jugar un juego en el
que, por turnos, cada persona lanzará este dado de seis caras hasta obtener un 1. Y queremos
ver cuántas veces tenemos que lanzarlo hasta lograrlo.
Así que elegimos una variable aleatoria, llamémosla X, y la definimos como el # de
lanzamientos hasta obtener un “1”. ¿Cuál es la probabilidad de que X sea igual
a 1? Pausa este video y piénsalo. Muy bien, la probabilidad de que X sea igual
a uno significa que solo necesitamos un lanzamiento para obtener un 1. Entonces, esta será una
probabilidad de ⅙. Ahora, ¿cuál es la probabilidad de que X
sea igual a 2? Esto significa que en el primer lanzamiento obtenemos algo distinto de 1,
entonces esto es ⅚, y en el segundo lanzamiento obtenemos 1, entonces la probabilidad es de
⅙. Y podemos seguir. ¿Cuál es la probabilidad
de que X sea igual a 3? Pausa el video y piénsalo un momento. Bien, esto significa que fallamos los dos
primeros intentos. Así que tenemos ⅚ de posibilidades de obtener algo distinto de
1 en los dos primeros lanzamientos. Podemos decir que son ⅚ por ⅚, o podríamos escribir
⅚ al cuadrado. Y luego, en el tercer lanzamiento tenemos ⅙ de posibilidades de que salga
el 1. Entonces multiplicamos por ⅙. Y creo que ya puedes observar que aquí hay
un patrón y podrías reconocer qué tipo de variable aleatoria es esta. Esta es una
variable geométrica. ¿Y cómo lo sabemos? Bueno, cada intento, o cada lanzamiento, es
un éxito o un fracaso. Cada vez que lanzamos el dado obtenemos un 1 o no lo obtenemos.
Tenemos la misma probabilidad de obtener un 1 en cada intento. Los intentos son independientes
y no hay un número determinado de intentos. Podría tomarnos un número arbitrario de
intentos conseguir el primer éxito. Esto nos dice que estamos tratando con una variable
geométrica aleatoria. Ahora, una pregunta puede ser ¿cuál será
la media de esta variable geométrica aleatoria? Bueno, esto ya lo demostramos en otro video
donde hablamos del valor esperado de una variable geométrica aleatoria. En realidad, estábamos
hablando de la media de una variable geométrica aleatoria. Y es algo que puedes pensar intuitivamente.
Si tuvieras que adivinar cuál es la media de una variable geométrica aleatoria donde
la probabilidad de éxito en cada lanzamiento es ⅙, podrías decir, “bueno, quizá en
promedio toma alrededor de 6 intentos”. ¡Y estarías en lo correcto! La media de
una variable geométrica aleatoria es 1 sobre la probabilidad de éxito en cada intento. En este caso, la media será 1 sobre esta
probabilidad de éxito en cada intento, 1 sobre 6. Y esto es igual a 6.
Una forma de ver esto es que, en promedio, tendrías que realizar 6 intentos hasta conseguir
un 1. Ahora, otra pregunta sería: ¿qué es una
medida de la dispersión de una variable geométrica aleatoria? No he demostrado esto en ningún
video, quizás lo haga en el algún momento, pero la desviación estándar de una variable
geométrica aleatoria es la media multiplicada por la raíz cuadrada de 1 menos P , o lo
podemos escribir como la raíz cuadrada de 1 menos P sobre P. ¿En este caso cómo quedaría? Bien, la desviación
estándar de esta variable geométrica aleatoria, es la raíz cuadrada de 1 menos ⅙ y todo
esto sobre ⅙. Entonces esto será igual a la raíz cuadrada de ⅚ sobre ⅙, que
es igual a 6 por la raíz cuadrada de ⅚. Y esto será aproximadamente igual a… 5
dividido entre 6 es igual a esto y le sacamos raíz cuadrada y multiplicamos el resultado
por 6 y nos da aproximadamente 5.5. Entonces, es aproximadamente igual a 5.5. Y lo interesante de una variable geométrica
aleatoria es que, en este caso el valor más bajo es uno, luego dos, tres y podemos ir
más y más alto hasta llegar a un número arbitrario. Puedes tener muy mala suerte y
hacer mil intentos hasta conseguir ese 1. Podría tomarte un millón de lanzamientos,
aunque es muy poco probable, pero podría tomarte un millón de intentos conseguir ese
1. Otra cosa que es importante notar de la distribución
de las variables geométricas aleatorias, es que tiende a verse algo así, donde la
media estará por aquí. Y tenemos esta larga cola a la derecha de la media, esta es una
clásica asimetría a la derecha. Todas las distribuciones de variables geométricas aleatorias
son asimétricas a la derecha. Tienen una larga cola de valores, una cola infinitamente
larga de valores que pueden haber hacia la izquierda. Ahora, una última pregunta. Si en lugar de
usar un dado de seis caras usáramos un dado de 12 caras, ¿cuál sería la situación?¿Cuál
sería entonces la media de nuestra variable aleatoria? ¿y cuál sería la desviación
estándar de esa variable aleatoria? Pausa el video y piénsalo. Bien, la media sería uno sobre 1/12, porque
tienes una probabilidad de 1/12 de obtener un 1 en cada intento, asumiendo que estamos
jugando el mismo juego, ahora con el dado de 12 caras. 1 sobre 1/12 da 12. Así que,
en promedio, te tomaría 12 intentos obtener ese primer 1. Y luego nuestra desviación estándar será
esto multiplicado por la raíz cuadrada de 1 menos 1/12. Voy a escribirlo de esta forma:
1 menos 1/12 sobre 1 sobre 12, que es lo mismo que 12 por la raíz cuadrada de 11/12. 11
entre 12 es igual a… y le sacamos raíz cuadrada y luego lo multiplicamos por 12 y
obtenemos aproximadamente 11.5. 11.5. Entonces puedes ver que con un dado de 12
caras tenemos el mismo patrón, en el que tenemos la media de la variable aleatoria,
y luego tenemos la desviación estándar que está al lado de la media, es casi igual a
la media en ambos casos. Un poco menor que la media. Y luego hay muchos, muchos, muchos
valores que se alejan de la media hacia la derecha. Y es así como obtenemos esta clásica asimetría
a la derecha para una variable geométrica aleatoria.