La media y desviación estándar de la distribución geométrica

Supongamos que vamos a jugar un juego en el que, por turnos, cada persona lanzará este dado de seis caras hasta obtener un 1. Y queremos ver cuántas veces tenemos que lanzarlo hasta lograrlo. Así que elegimos una variable aleatoria, llamémosla X, y la definimos como el # de lanzamientos hasta obtener un “1”. ¿Cuál es la probabilidad de que X sea igual a 1? Pausa este video y piénsalo. Muy bien, la probabilidad de que X sea igual a uno significa que solo necesitamos un lanzamiento para obtener un 1. Entonces, esta será una probabilidad de ⅙. Ahora, ¿cuál es la probabilidad de que X sea igual a 2? Esto significa que en el primer lanzamiento obtenemos algo distinto de 1, entonces esto es ⅚, y en el segundo lanzamiento obtenemos 1, entonces la probabilidad es de ⅙. Y podemos seguir. ¿Cuál es la probabilidad de que X sea igual a 3? Pausa el video y piénsalo un momento. Bien, esto significa que fallamos los dos primeros intentos. Así que tenemos ⅚ de posibilidades de obtener algo distinto de 1 en los dos primeros lanzamientos. Podemos decir que son ⅚ por ⅚, o podríamos escribir ⅚ al cuadrado. Y luego, en el tercer lanzamiento tenemos ⅙ de posibilidades de que salga el 1. Entonces multiplicamos por ⅙. Y creo que ya puedes observar que aquí hay un patrón y podrías reconocer qué tipo de variable aleatoria es esta. Esta es una variable geométrica. ¿Y cómo lo sabemos? Bueno, cada intento, o cada lanzamiento, es un éxito o un fracaso. Cada vez que lanzamos el dado obtenemos un 1 o no lo obtenemos. Tenemos la misma probabilidad de obtener un 1 en cada intento. Los intentos son independientes y no hay un número determinado de intentos. Podría tomarnos un número arbitrario de intentos conseguir el primer éxito. Esto nos dice que estamos tratando con una variable geométrica aleatoria. Ahora, una pregunta puede ser ¿cuál será la media de esta variable geométrica aleatoria? Bueno, esto ya lo demostramos en otro video donde hablamos del valor esperado de una variable geométrica aleatoria. En realidad, estábamos hablando de la media de una variable geométrica aleatoria. Y es algo que puedes pensar intuitivamente. Si tuvieras que adivinar cuál es la media de una variable geométrica aleatoria donde la probabilidad de éxito en cada lanzamiento es ⅙, podrías decir, “bueno, quizá en promedio toma alrededor de 6 intentos”. ¡Y estarías en lo correcto! La media de una variable geométrica aleatoria es 1 sobre la probabilidad de éxito en cada intento. En este caso, la media será 1 sobre esta probabilidad de éxito en cada intento, 1 sobre 6. Y esto es igual a 6. Una forma de ver esto es que, en promedio, tendrías que realizar 6 intentos hasta conseguir un 1. Ahora, otra pregunta sería: ¿qué es una medida de la dispersión de una variable geométrica aleatoria? No he demostrado esto en ningún video, quizás lo haga en el algún momento, pero la desviación estándar de una variable geométrica aleatoria es la media multiplicada por la raíz cuadrada de 1 menos P , o lo podemos escribir como la raíz cuadrada de 1 menos P sobre P. ¿En este caso cómo quedaría? Bien, la desviación estándar de esta variable geométrica aleatoria, es la raíz cuadrada de 1 menos ⅙ y todo esto sobre ⅙. Entonces esto será igual a la raíz cuadrada de ⅚ sobre ⅙, que es igual a 6 por la raíz cuadrada de ⅚. Y esto será aproximadamente igual a… 5 dividido entre 6 es igual a esto y le sacamos raíz cuadrada y multiplicamos el resultado por 6 y nos da aproximadamente 5.5. Entonces, es aproximadamente igual a 5.5. Y lo interesante de una variable geométrica aleatoria es que, en este caso el valor más bajo es uno, luego dos, tres y podemos ir más y más alto hasta llegar a un número arbitrario. Puedes tener muy mala suerte y hacer mil intentos hasta conseguir ese 1. Podría tomarte un millón de lanzamientos, aunque es muy poco probable, pero podría tomarte un millón de intentos conseguir ese 1. Otra cosa que es importante notar de la distribución de las variables geométricas aleatorias, es que tiende a verse algo así, donde la media estará por aquí. Y tenemos esta larga cola a la derecha de la media, esta es una clásica asimetría a la derecha. Todas las distribuciones de variables geométricas aleatorias son asimétricas a la derecha. Tienen una larga cola de valores, una cola infinitamente larga de valores que pueden haber hacia la izquierda. Ahora, una última pregunta. Si en lugar de usar un dado de seis caras usáramos un dado de 12 caras, ¿cuál sería la situación?¿Cuál sería entonces la media de nuestra variable aleatoria? ¿y cuál sería la desviación estándar de esa variable aleatoria? Pausa el video y piénsalo. Bien, la media sería uno sobre 1/12, porque tienes una probabilidad de 1/12 de obtener un 1 en cada intento, asumiendo que estamos jugando el mismo juego, ahora con el dado de 12 caras. 1 sobre 1/12 da 12. Así que, en promedio, te tomaría 12 intentos obtener ese primer 1. Y luego nuestra desviación estándar será esto multiplicado por la raíz cuadrada de 1 menos 1/12. Voy a escribirlo de esta forma: 1 menos 1/12 sobre 1 sobre 12, que es lo mismo que 12 por la raíz cuadrada de 11/12. 11 entre 12 es igual a… y le sacamos raíz cuadrada y luego lo multiplicamos por 12 y obtenemos aproximadamente 11.5. 11.5. Entonces puedes ver que con un dado de 12 caras tenemos el mismo patrón, en el que tenemos la media de la variable aleatoria, y luego tenemos la desviación estándar que está al lado de la media, es casi igual a la media en ambos casos. Un poco menor que la media. Y luego hay muchos, muchos, muchos valores que se alejan de la media hacia la derecha. Y es así como obtenemos esta clásica asimetría a la derecha para una variable geométrica aleatoria.