Prueba de valor esperado de la variable aleatoria geométrica

aquí tenemos una variable aleatoria geométrica clásica la definimos como el número de ejecuciones independientes para tener éxito donde la probabilidad de éxito para cada ejecución es p minúscula ya hemos visto esto antes cuando comenzamos a ver las variables geométricas el propósito de este vídeo es deducir cuál es el valor esperado de una variable aleatoria geométrica como ésta les voy a dar la respuesta ahora y en los próximos vídeos vamos a aplicar esta fórmula en este vídeo veremos la demostración matemática el valor esperado de una variable aleatoria geométrica es el inverso de la probabilidad de una ejecución exitosa ahora vamos a demostrarlo el valor esperado de cualquier variable aleatoria es la suma de los resultados que podemos tener ponderados por su probabilidad es decir la probabilidad de que nuestra variable aleatoria sea igual a 1 por 1 más la probabilidad de que la variable aleatoria sea igual a 2 multiplicado por dos y así sucesivamente una variable aleatoria geométrica sólo puede tener valores enteros pero pueden valer cero porque no podemos tener un éxito si no tenemos al menos una ejecución a que se hará igual esto cuál es la probabilidad de tener éxito en la primera ejecución va a ser igual a p y esto aquí será igual cuál es la probabilidad de que no tengamos un éxito en la primera ejecución y que tengamos éxito en la segunda ejecución esto es igual a 1 - p por la probabilidad de éxito en la segunda ejecución permítanme escribir un término más aquí más la probabilidad de que x sea igual a 3 x 3 y esto que es igual la probabilidad de que x sea igual a 3 es igual a la probabilidad de fallar en las dos primeras ejecuciones 1 - p al cuadrado y después multiplicarlo por una ejecución exitosa con esto ya tenemos una idea de lo que sucede vamos a reescribir lo para simplificar lo el valor esperado de x es igual a 1 p más 2 p por 1 p más 3 p por uno menos p al cuadrado y así sucesivamente como podemos calcular la suma ahora vamos a aplicar trucos matemáticos parecidos a los que usamos para la demostración de una serie geométrica infinita ahora vamos a preguntarnos a qué es igual esto 1 - p por este valor esperado voy a multiplicar todos estos términos por 1 - p 1 p por 1 - p va a ser igual a 1 p por 1 - p2p por 1 - p por 1 - p será 2 p por 1 - p x lo mismo que es 1 - p al cuadrado pueden ver cómo continúa esto ahora vamos a hacer algo bastante interesante y divertido desde el punto de vista matemático como en ambas ecuaciones el lado derecho es igual al lado izquierdo prestemos la ecuación de abajo de la ecuación de arriba nos queda el valor esperado de x que es este menos uno - p por el valor esperado de x estamos restando esto de este lado y ahora hagamos lo mismo del lado derecho nos queda 1 p y luego restó 1 p por 1 - p2p por 1 - p y nos queda 1 p por 1p si le restó esto a esto nos queda uno por uno al cuadrado y así continuamos sucesivamente vamos a simplificar esto distribuimos el signo negativo y nos queda más p menos uno y si distribuimos el valor esperado de x del lado izquierdo nos queda permítanme mover un poco la pantalla para tener más espacio nos queda el valor esperado de x más p por el valor esperado de x menos el valor esperado de x estas se cancelan y nos queda que es igual a peu más p por 1p más pp por 1 - p al cuadrado y así sucesivamente del lado izquierdo me queda p por el valor esperado de x y para despejar el valor esperado de x vivido a ambos lados entre p y como resultado de estos trucos matemáticos tenemos que del lado izquierdo nos queda el valor esperado de x mientras que del lado derecho tenemos uno más uno menos p más uno menos p al cuadrado y así sucesivamente esto que nos queda es una serie geométrica clásica con una en común de 1 p esta es una de las razones por las que a este tipo de variables aleatorias se les llama variables aleatorias geométricas y si esto es algo que no les es familiar los invito a que vean los vídeos que tenemos sobre series geométricas en otros vídeos hemos demostrado usando técnicas similares a las que utilizamos aquí que esta suma es igual a 1 entre 1 menos nuestra razón común que en este caso es 1 - p al final de cuentas esto a que va a ser igual ya estamos en la recta final esto es igual a 1 entre uno menos uno más esto se cancela y nos queda uno entre p con esto hemos demostrado usando trucos matemáticos geniales que el valor esperado de una variable aleatoria geométrica es igual a uno entre p y con esto terminamos