Transformar una variable aleatoria discreta. Ejemplo

adriano juega un juego que involucra a disparar dos tiros libres la siguiente tabla muestra la distribución de x el número de disparos que hace adrián en sus dos intentos junto con algunas estadísticas aquí está la variable aleatoria x que es una variable aleatoria discreta ya que solo puede tomar un número finito de valores solo puede tomar el valor de 0 1 o 2 la probabilidad de que logres 0 tiros está aquí de que logré un tiro está aquí y de que logré los dos tiros está aquí también nos dan la media de x y la desviación estándar de x nos preguntan si el juego cuesta 15 pesos y él gana 10 pesos por cada tiro exitoso cuál es la media y la desviación estándar de su ganancia neta al jugar n vamos a definir una nueva variable aleatoria n que es igual a su ganancia neta podemos definir n en términos de x cuál será su ganancia neta n va a ser igual a 10 por la cantidad de tiros que logró x y sin importar el resultado él tiene que pagar 15 pesos para jugar así que a esto le restamos 15 escribir una tabla para la distribución de probabilidades de n n es igual a la ganancia neta aquí abajo tenemos la probabilidad de n y tenemos tres posibles resultados el resultado que corresponde a que no logré tiro alguno es 10 x 0 menos 15 y tendremos una ganancia de menos 15 con la misma probabilidad de punto 16 cuando él logra un tiro la ganancia neta es 10 por 1 menos 15 que es igual a menos 5 que tiene la misma probabilidad 0.48 la probabilidad de que logre un tiro es de 48% y esta será la misma probabilidad de que él tenga una ganancia neta de menos 5 finalmente cuando él logra los dos tiros la ganancia neta es de 10 por 2 menos 15 lo que nos da igual a 5 la probabilidad de que logre dos tiros en ese punto 36 nos piden encontrar la media y la desviación estándar de la ganancia neta calculemos primero la media de n si escalamos una variable aleatoria la media correspondiente estará por la misma cantidad y si desplazamos una variable aleatoria la media correspondiente será desplazada la misma cantidad la media de n va a ser diez veces la media de x menos 15 que es igual a 10 por 1.2 menos 15 1215 nos da menos 3 la desviación estándar de n va a ser algo diferente en la desviación estándar importa mucho la escala si escalamos la variable aleatoria por cierta cantidad también escalamos la desviación estándar por la misma cantidad esto es igual a 10 por la desviación estándar de x y ustedes me pueden preguntar qué pasa con este desplazamiento el desplazamiento no afecta a la dispersión de la variable aleatoria si escalamos la variable aleatoria la dispersión también varía de acuerdo a esta cantidad pero el desplazarla no afecta qué tan dispersa se encuentra de la media así pues la desviación estándar solo es afectada por el escalamiento pero no por el desplazamiento esto es 10 por punto 69 nos da 6.9 que es aproximación esta es la nueva distribución para la ganancia neta ésta es la media y esta es la desviación estándar aproximada de la ganancia neta