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Impacto de la transformación de variables aleatorias (escalamiento y desplazamiento)

Transcripción del video

digamos que tenemos una variable aleatoria x que quizás representa la estatura de una persona elegida aleatoriamente o algo por el estilo aquí tenemos su distribución de probabilidad que aquí dibujé como una curva de campana o una distribución normal pero que puede ser otra distribución cualquiera también dibuje en la media de esta distribución una desviación estándar por encima de la media y una desviación estándar por debajo de la media lo que vamos a hacer en este vídeo será analizar cómo se ven afectadas la media y la desviación estándar de una distribución de probabilidad cuando se suma o se escala esta variable aleatoria veamos qué sucede si tenemos otra variable aleatoria llamada ye que es igual a lo que sea igual la variable aleatoria x más una constante que de notaremos con una k minúscula esta no es una variable aleatoria es una constante podría ser el número 10 estas son las estaturas de personas elegidas aleatoriamente y a eso le agregamos 10 centímetros quizá porque nos interesa ver la distribución de las estaturas de las que usan sombreros de copa' o algo así cómo afectará esto a la media y a la desviación estándar de iu en su relación con x cómo se verá la distribución de g en lugar de que la media o el centro de la distribución esté aquí se va a desplazar acá a la derecha de hecho podemos desplazar toda la distribución hacia la derecha cada unidades en este ejemplo imaginamos que acá es bastante grande y queda así cambiamos de color para indicar que esta es la distribución de probabilidades para la variable aleatoria ya pueden ver que la distribución solamente se ha desplazado hacia la derecha en que la media se movió a la derecha más cara se movería a la izquierda si fuera menos acá esto claramente afecta a la media ahora la media será acá más grande lo escribimos podemos decir que la media de nuestra variable aleatoria es igual a la media de la variable aleatoria x más acá lo pueden ver en la gráfica pero cambia en la desviación estándar que la desviación estándar es una forma de medir la dispersión típica a partir de la media y eso no cambia para la variable aleatoria x esta longitud es una desviación estándar que será igual que la desviación estándar acá de nuestra variable aleatoria y podemos decir que la desviación estándar de la variable aleatoria allí es igual que la desviación estándar de la variable aleatoria x aquí pueden ver que el sumar una constante a una variable aleatoria afecta a su media pero no afecta a su desviación estándar qué pasaría si escalamos una variable aleatoria digamos que tenemos otra variable aleatoria que llamamos zeta y que es igual a una constante k que multiplica a x recuerden que acá no es una variable aleatoria sino que representa un número cualquiera pensemos en lo que sucede aquí vamos a dibujar de nuevo la distribución de nuestra variable aleatoria x sica es igual a 2 vamos a tener esta distribución escalada o estirada por 2 y ya el área total siempre tiene que ser igual a 1 esta distribución se va a aplanar con una escala de 2 para conservar la misma área podemos hacer esto con nuestra herramienta de dibujo vamos a hacerla más corta con un factor de 2 y la vamos a estirar por el mismo factor permítanme alinear los ejes para que podamos apreciar esto va a lucir algo así así queda la distribución de nuestra variable aleatoria z le ponemos el color correspondiente aquí podemos ver dos cosas la primera es que la media se ha desplazado la media se escalo la segunda es que vemos que las desviaciones estándar también se han escalado la desviación estándar de z se ha escalado y no sólo eso sino que se ha escalado en un factor de k esto es igual a k que multiplica a la desviación estándar de x también vemos que la media de la variable aleatoria z es igual a k por la media de x así que en resumen si tenemos una variable aleatoria que se construye al sumarle a una cosa a otra variable aleatoria va a desplazar la media con esta constante pero no va a afectar la desviación estándar si escalamos o multiplicamos una variable aleatoria por una constante para obtener otra variable aleatoria entonces nos va a afectar tanto a la media como a la desviación estándar
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