Teorema del límite central

en este vídeo quiero hablar acerca de algo que probablemente sea uno de los conceptos fundamentales y profundos de la estadística y quizás de todas las matemáticas y este es el teorema del límite central teorema del límite central y lo que nos dice es que podemos empezar con cualquier distribución que tenga una media y varianza bien definidas digamos si tiene una varianza no se puede ser una distribución continua o discreta voy a dibujar una discreta porque es más fácil de imaginar en al menos para los propósitos de este vídeo entonces digamos que tengo una función de distribución de probabilidad discreta y quiero hacer cuidadoso de que esto no se apareció una distribución normal para que vean el poder del teorema digamos que tengo una distribución que toma valores 1 2 3 4 5 y 6 digamos de algún dado medio loco y digamos que es muy probable que obtengamos el 1 que vamos a obtener 1 muy probable 2 pues más 2 no perdón 3 y 4 pues más o menos y el 6 también es muy probable de obtenerlo entonces esta es mi función de distribución de probabilidad digamos que si fuese a dibujar la media más o menos esto es simétrico entonces la media estaría a la mitad con cierta desviación standard no sé no sé cómo sea pero bueno esta es mi mi función de distribución de probabilidad discreta ahora lo que voy a hacer es en vez de tomar muestras de esta variable aleatoria que está escrita por esta función de distribución voy a tomar muestras de ella pero voy a tomar el promedio de esas muestras y luego voy a mirar y ver la frecuencia de los promedios que obtengo y cuando digo promedio déjenme definir lo siguiente entonces digamos que el tamaño de la muestra es n es en 4 ok y lo que significa es que voy a tomar 4 muestras de esto digamos que la primera vez tomó 4 muestras digamos que obtengo 1 1 luego un 3 y luego un 6 entonces esta es nuestra primera muestra de tamaño 4 sé que la terminología puede ser un poquito complicada pero esto nos está diciendo que tenemos una muestra de 4 muestras es decir la muestra es una muestra de cuatro elementos que tomamos de nuestra distribución es decir se refiere al conjunto de muestras de la distribución y el tamaño nos dice cuántas realmente tomaste de esta distribución la terminología puede ser confusa porque puedes fácilmente ver uno de estos como una muestra pero estamos tomando cuatro de ellos es decir tenemos una muestra de cuatro y lo que voy a hacer es tomar el promedio vamos a tomar el promedio sale ok cuál es el promedio de esta primera muestra así que tengo uno más uno es 2 3 son 5 y 6 son 11 y 11 dividido entre 4 es 2.75 esta es mi primera media muestral de tamaño 4 muy bien déjenme hacer otra digamos que mi segunda muestra digamos que obtuve un 3 y un 4 otro 3 tal vez y un 1 no sea solo se me ocurrió quizás no salió el 6 ya cuente que el 2 y el 5 no pueden aparecer sale entonces la probabilidad de obtener 2 y 5 o 5 más bien es cero entonces para esta segunda muestra de tamaño 4 nuestra media muestral baja la media muestral sería 3 473 son 10 1 es 11 y otra vez entre 4 nos da 2.75 déjenme hacer una más porque realmente quiero que se vea de que estamos hablando entonces digamos que tengo una muestra otra vez de tamaño 4 digamos que tengo voy a tomar se dan cuenta esta muestra está hecha de muestras verdad pero bueno digamos que en esta última muestra obtuve 1 1 6 y 6 entonces mi media muestra 'la va a ser uno más uno que es 2 más 6 son 86 son 14 y 14 entre 4 es a 33.5 verdad es 3.5 y mientras estoy encontrando estas medias muestrales para cada una de mis muestras de tamaño 4 halló la media y vamos a graficar las en una distribución de frecuencias y esto va a sorprenderte en algunos segundos más adelante entonces gráfico todo esto en una distribución de frecuencia digamos que en mi primera muestra la la media muestral fue 2.75 entonces gráfico la frecuencia de estos números es decir obtuve hasta ahorita una vez 2.75 luego la siguiente vez obtuve también 2.75 ahí está así que lo obtuve dos veces entonces obtengo ahora gráfico una vez que obtuve 3.5 digamos que anda de este lado baja entonces obtuve una vez lo gráfico aquí y lo que voy a hacer es seguir tomando todas estas muestras tal vez 10.000 y entonces seguiré tomando estas muestras digamos dijimos que hasta la muestra 10.000 y vamos a ver cómo a través del tiempo ok voy a tener que poner puntos mejor si lo miro así digamos a lo largo de las muestras los valores que pueden tener los voy graficando con sus frecuencias entonces el primer punto es de estar aquí mismo digamos este que había puesto en rojito y luego el segundo punto lo colocó ahí digamos a canda el 3.5 en fin voy a tener 10.000 veces de estos entonces si lo sigo graficando simplemente buenas a continuar graficando las frecuencias una y otra vez y lo que veremos es que a medida que tomó muchas muestras de tamaño 4 voy a tener algo que se vaya a aproximar a una distribución normal entonces cada uno de estos puntos representa una incidencia de una media muestral y a medida que siga agregando yo en esta columna digamos aquí obtuve varias de 2.75 y voy avanzando a lo largo de las muestras y se aproxima una distribución normal y este es un resultado muy buena onda acerca del teorema del límite del límite central entonces el teorema nos dice que esta distribución naranja para n igual a 4 que era el tamaño de la muestra sí sí hago la misma cosa con un está con una muestra digamos de tamaño 20 entonces tengo una distribución medio loca y original inicialmente pero los datos de mi variable aleatoria si voy graficando la la media muestral en una gráfica de frecuencias que se verá a lo mejor así no lo vamos a discutir en unos vídeos más adelante pero resulta que si fuera a graficar 10.000 de estas muestras ahora voy a tener algo así que se aproxima también a una distribución normal vamos a ver que en vídeos más adelante que tenemos este tenemos la misma media vamos a tener la misma media pero va a tener una desviación estándar menor de hecho debería graficar un poquito distinto esto porque se va apilando verdad de hasta el fondo pero entonces se va aproximando cada vez más a una distribuye distribución normal y la realidad es que es un resultado genial acerca este es el teorema del límite central que a medida que la muestra el tamaño de la muestra se vuelve más grande digamos tiende a infinito y digo realmente no no es infinito sino que se hacen cada vez más grande de hecho no es tan grande lo que se necesita a veces con 10 o 20 ya es suficiente pero lo que es muy muy increíble es que esta distribución loca original no tiene nada que ver con una distribución normal pero si tenemos una muestra digamos un tamaño mes muestra 'la de n igual a 10 tomamos 100 de estos en vez de 4 y gráfica mos la frecuencia de las medias muestrales y luego tomáramos otros 100 y así lo hiciéramos una una cantidad de veces muy grande digamos que prendiera infinito también encontraríamos una distribución normal perfecta ese es la parte loca del asunto y no solamente aplica tomando la media muestral también si pudimos haber tomado sólo la suma muestra y el teorema del límite central seguiría aplicando pues esto es lo útil de esto porque en la vida hay muchos tipos de procesos proteínas chocando contra otras personas haciendo cosas locas humanos interactuando en extrañas maneras gente abriendo facebook y no sabes la función de distribución de estas cosas o el teorema del límite central nos dice que si tomamos muchas de estas acciones y las montamos y asumimos que todas tienen la misma distribución entonces la frecuencia de las medias muestrales vamos a obtener de ahí una distribución normal y esto es lo que hace francamente lo que hace que la distribución normal sea tan útil en estadística y francamente es una muy buena aproximación de la suma de las medias de muchos procesos esta es una distribución normal y lo que te voy a mostrar en los siguientes vídeos es que mientras incremente su tamaño de la muestra mientras tu n tomes muchas muchas y muchas cada vez más esta gráfica de frecuencias se parecerá cada vez más a una distribución normal