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Contenido principal

Distribución muestral de la media muestral

El teorema del límite central y la distribución de la media muestral. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

en el vídeo anterior vimos un concepto que es de los más profundos en estadística y se trata del teorema del límite central y la razón por la que es tan genial es que si ustedes tienen cualquier distribución con una media y una varianza bien definida de hecho aquí puse la desviación estándar pero tiene que ser la media y una varianza bien definido aquí no importa como sea esta distribución puedo tomar muestras como se vio en el vídeo pasado aquí la muestra de tamaño n igual a 4 y literalmente tome 4 instancias de este conjunto este es un ejemplo tome su media y considere esta como la media de la muestra al menos esta para mi primera muestra sé que es un poquito confuso considere esta muestra considere cada uno de los miembros de esta muestra para encontrar su media y después saqué la media de esta muestra y seguía siendo esto una y otra vez en una segunda muestra obtuve estos valores de elementos aleatorios en esta distribución encontré el promedio la media de la muestra lo genial del teorema del límite central es que conforme voy graficando el valor medio de las muestras encuentro algo que se aproxima a la distribución normal y esto funciona mejor para aproximarnos a la distribución normal conforme n se hace más grande y para poder comprender la terminología esta distribución de frecuencia que acabo de dibujar aquí abajo o aquí o aquí eso se llama y es algo confuso porque usamos la palabra muestra o muestreo muy seguido se llama la distribución de muestreo de la media de la muestra y la distribución de muestreo de la media de la muestra y vamos a explicar un poco esto para que se comprenda de qué trata este concepto cuando decimos que es la distribución de la muestra nos dice que está siendo derivado de la distribución de alguna estadística que en este caso se refiere a la media de la muestra y la estamos derivando de muestras de la distribución así que si ésta es mi primera muestra con un tamaño de muestra de 4 uso la media como estadística puede haber usado alguna otra estadística como la moda o el promedio aunque la distribución de la muestra de la media de la muestra es la más común y en mi opinión esa es la mejor manera de aprender sobre el teorema del límite central e incluso sobre la distribución de muestreo y vamos a probar esto de manera experimental no de manera matemática yo pienso que el experimentar es mucho más satisfactorio en estadística y esto tiene la misma media la misma media que nuestra distribución original como la que estoy mostrando aquí es la misma media veremos en el siguiente vídeo que esto va a comenzar a aproximarse a una distribución normal aún cuando mi distribución original sea diferente y es lo que haremos con esta sección de acá y para dar crédito a quien le corresponde esto lo obtuve de la siguiente dirección online start book puntocom que es una aplicación bastante buena pues ayuda a visualizar los muestreos de esta distribución y aquí puedo crear de hecho mi propia distribución vamos a hacer algo loco por acá en teoría pueden usar esto con una función de densidad de probabilidad discreta o continua pero lo que tenemos aquí es uno de 32 valores y vamos a establecer las diferentes probabilidades para cada uno de estos 32 valores claramente se puede ver que esto no es una distribución normal lo que quiero hacer primero es usar una simulación para comprender o para comprender mejor de qué se trata la distribución de muestreo lo que voy a hacer ahora es comenzar con una muestra de cinco a la vez el tamaño de mi muestra es de cinco y cuando le dé clic a animated se van a tomar cinco muestras de esta función de distribución de probabilidad y esas cinco muestras las van a ver cuando dé clic acá va a encontrar el promedio y va a dibujar la media y si le doy clic acá lo volverá a hacer de nuevo aquí podemos ver cómo toma cinco muestras y saca el promedio y lo pone acá ubs que hice aquí vaya voy a tener que limpiar esto vamos a hacerlo de nuevo doy clic aquí 5 muestras saca la media la dibuja acá vamos a hacerlo de nuevo 5 muestras de esta función de distribución de probabilidad y la gráfica acá saca la media y la gráfica acá puedo seguir haciendo esto aunque me lleve tiempo puedo hacerlo nos unas mil veces por ejemplo aquí ya tengo un botón donde tiene hacer estos mil veces y déjenme aclarar que este programa está realmente generando los números aleatorios de acuerdo con esta distribución que puse acá va a tomar 5 a la vez encontrar su media y dibujarla acá si le doy clic al botón de 10.000 va a hacer esto diez mil veces cinco a la vez encontrando su media y graficando la que vamos a hacer justamente eso y vamos a ver qué nos muestra aquí está y noten que ya aparece bastante a una distribución normal y como les había comentado la media de mi distribución loca era 14.45 y la media después de haber hecho 10 mil veces el muestreo es de 14.42 que es pues bastante similar a la media de mi distribución original y el sesgo y curtósis son elementos que nos ayudan a ver la forma que tiene esta distribución al saber qué tan normal es nuestra distribución y hemos hablado al respecto en vídeos anteriores pero vamos a tomarnos un momento para recordar un poco de sus conceptos aquí son conceptos bastante directos el sesgo lo que nos dice que buenos voy a dibujar en un color diferente si esta fuera una distribución normal perfecta más o menos así si es una distribución perfecta esta tendría un sesgo de cero si tuviéramos un sesgo positivo tendríamos una cauda hacia la derecha más larga más o menos así esta sería la distribución con un sesgo positivo sesgo positivo que la hace un poquito menos ideal que la forma de una distribución normal y un sesgo negativo se vería al contrario la cauda sería larga hacia la izquierda este es un sesgo negativo así pues algo que no tiene ni sesgo positivo ni negativo es esta forma normal ideal simétrica alrededor de la media ahora la curtósis que suena una palabra bastante sofisticada en realidad el concepto no es tan sofisticada y de nuevo si yo dibujara una distribución normal perfecta en diferente color y recuerden no tenemos una sola distribución normal se pueden tener diferentes medias y diferentes desviaciones estándar o menos así en nuestra distribución normal si yo tuviera una curtósis positiva que pasaría a bueno voy a tener acá bodas más gordas vas a bajar dibujarla más o menos así y tendríamos simas muy picudas vamos a dibujar lo mejor caudas gordas y simas picudas mucho más picudas que la distribución normal esto de aquí es una corta dispositiva y dependiendo de qué tan positiva sea será más picuda la cima de esta distribución una curtósis negativa va a tener causas más pequeñas pero va a estar mucho más suave hacia el medio hacia el centro va a ser más o menos algo así esto tendrá una curtósis negativa y quizás en otros vídeos vamos a explicar esto con más detalle en el contexto de esta simulación la curtósis y el sesgo nos dicen que tan normal es esta distribución así que cuando el tamaño de nuestra muestra es igual a 5 pero tenemos esta distribución muy cercana a la normal vamos a hacer otra prueba con 10.000 iteraciones y vemos que todavía tienen un poco de sesgo y un poco de curtósis veamos qué pasa cuando tenemos una muestra un poco más grande y lo podemos hacer de manera simultánea aquí tengo mi muestra igual a 25 elementos vamos a por toda la media distribución media voy a hacer una animación con mi simulación con 5 muestras y aquí voy a tomar 25 muestras encuentro cuáles son media y la dibujo acá abajo aquí volvemos a repetir esta animación aquí tenemos nuestra muestra de 5 y aquí nuestra muestra de 25 obtenemos la media y se muestra acá y lo que acabo de hacer lo voy a hacer unas 10.000 veces con este botón y eso es interesante recuerden que nuestra distribución original no tenían nada que ver con la normal una vez que hicimos esto observé muy bien poco aquí en la pantalla aquí lo interesante es que ambas distribuciones pues se parecen a la normal pero si se fijan en el sesgo y la curtósis cuando nuestra muestra es mayor es mucho más normal es mucho más parecido a una normal perfecta cuando tenemos una muestra más grande vemos que esta distribución es mucho más parecida a una distribución normal simétrica y veremos en futuros vídeos que esto no es sólo normal sino que también está bastante cercana a la media y pueden pensar porque es que esto tiene sentido pues si nuestra muestra es mayor tenemos más oportunidad de obtener valores alejados de la media es menor ya que es muy poco probable que tengamos nuestras 25 muestras muy lejanas de estas partes yo tendrían valor es más o menos bien distribuidos en todo este rango por lo que nuestra distribución tiende a ser más parecida a la normal ya veremos más al respecto de esto en el futuro espero que con esto ustedes queden satisfechos con la explicación experimental de que el problema del límite central se aplica a cualquier distribución aunque sea una distribución tan loca como esta y pueden usar esta aplicación que la pueden encontrar en online state book puntocom para experimentar con todo tipo de distribuciones y ver que esto se sigue cumpliendo y recordemos que lo interesante de esto es que conforme voy a aumentando mi muestra mi distribución se va apareciendo mucho más a la normal