Calcular un intervalo de confianza para la diferencia de proporciones

david investiga si los residentes de su ciudad apoyan la construcción de una nueva escuela tiene curiosidad acerca de la diferencia de opinión entre los residentes del norte y del sur de su ciudad el obtuvo muestras aleatorias separadas de votantes de cada región a continuación se muestran los resultados vemos que en el norte si apoyan la construcción 54 personas de 120 y 66 personas no la apoyan y en el sur apoya la construcción 77 personas de 140 y 63 no la apoyan david quiere usar estos resultados para construir un intervalo de confianza del 90% para estimar la diferencia en la proporción de los residentes de estas regiones que apoyan la construcción del proyecto de sub índice s&p subíndice n supón que satisfacen todas las condiciones para la inferencia cuál de las siguientes opciones es un intervalo de confianza correcto del 90% con base en las muestras de david pausa en el vídeo y traten de resolver esto por su cuenta van a necesitar una calculadora y dependiendo de su calculadora quizá también necesiten una tabla z para encontrar la solución en un vídeo anterior presentamos la idea de intervalos z de dos muestras y hablamos de las condiciones para la inferencia afortunadamente en este problema nos dicen que se satisfacen las condiciones para la inferencia por lo que podemos ir directamente al cálculo del intervalo de confianza dicho intervalo de confianza va a ser la diferencia entre las proporciones muestral es la proporción muestral del sur de sombrero subíndice s menos la proporción muestral del norte más o menos el valor crítico z estrella multiplicado por la estimación de la desviación estándar de la distribución muestral de la diferencia entre las proporciones muestrales nuestra estimación es la raíz cuadrada de peso hombre subíndice s por 1 - p sombrero subíndice s dividido entre el tamaño de la muestra del sur más peso hombre subíndice n por 1 menos de sombrero subíndice n dividido entre el tamaño de la muestra del norte de la tabla vemos que en el sur tenemos 77 de 140 que apoyan la construcción así que la proporción muestral del sur de sombrero subíndice s es 77 entre 140 en el norte peso hombre subíndice m será 54 de 120 cuál es el valor z crítico para encontrar lo vamos a necesitar una calculadora o una tabla zeta recordemos que nos piden un intervalo de confianza del 90% vamos a dibujarlo por aquí esta es una distribución normal y queremos un intervalo de confianza del 90% lo que significa que contiene el 90 por ciento de la distribución esto significa que cada una de estas colas que combinadas representan el 10 por ciento de la distribución por separado representan el 5% de la distribución vamos a consultar la tabla zeta que nos diga cuántas desviaciones estándar por debajo de la media debemos estar para tener 5 % aquí y eso nos dirá si nos encontramos ahí por arriba o por abajo ese será el valor crítico estrella veamos la tabla z para encontrar esto nos interesa encontrar el 5% y quizá les parezca que estoy haciendo lo opuesto a lo que nos piden en el problema pero ya verán que no es así estamos buscando el 5% y por acá tenemos un poco más del 5% nos vamos acercando poco a poco al 5% y ahora encontramos un valor ligeramente por debajo del 5% así que lo que nos interesa se encuentra entre esta columna y esta otra columna incluso podríamos dividir la diferencia y decir que el valor z sería más o menos 1.645 así que esta seta estrella es aproximadamente igual a 1.645 ya tenemos casi todos los valores que necesitamos a excepción del tamaño de la muestra en el sur en el subíndice s que en la tabla vemos es igual a 140 y en el subíndice n cuyo valor es 120 ahora si lo único que tenemos que hacer es escribir todo esto en la calculadora lo cual va a ser algo tardado pero qué juntos aquí tenemos un emulador de la calculadora texas instruments 84 y para que el vídeo no sea tan extenso vamos a aumentar la velocidad con la que escribimos esto en la calculadora primero vamos a calcular el límite superior y después el límite inferior aquí obtenemos el valor del límite superior que es aproximadamente igual a cero punto 202 con este valor inmediatamente podemos ver las opciones de respuesta que tengan este valor como límite superior y en la opción se luce muy bien ahora calculemos el límite inferior usamos de nuevo la calculadora y en lugar de volver a escribir todo esto cambiamos un signo menos aquí pulsó la tecla segunda y luego entrada y me muestra lo que escribí y como solo quiero modificar el signo + por el signo menos muevo el cursor hasta ese lugar y hago el cambio justo antes del radical hacemos clic en enter y ahí está nuestro límite inferior es aproximadamente igual a menos 0.002 vemos la opción se y coincide con el valor que tenemos aquí con eso escogemos nuestra opción de respuesta y con esto terminamos y nos vemos en el siguiente vídeo