Prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones. Ejemplo

unos investigadores sospechan que la miopía es cada vez más común un estudio del año 2000 mostró 132 casos de miopía en 400 personas seleccionadas aleatoriamente un estudio separado del 2015 mostró 228 casos de miopía en 600 personas seleccionadas aleatoriamente y lo que haremos en este vídeo será hacer una prueba de hipótesis para ver si tenemos suficiente evidencia para sugerir la sospecha de los investigadores de que la miopía es cada vez más común si en cualquier momento te sientes inspirado te animo a que pausa el vídeo e intentes trabajar el problema por tu cuenta ahora vamos a trabajarlo juntos lo primero que haremos será definir nuestras hipótesis la nula y la alternativa la hipótesis nula no es nada novedosa es lo contrario a lo que sospechan los investigadores es decir que la miopía no es cada vez más común ahora la forma en la que podemos medir que es cada vez más común podría ser al tomar la proporción de personas que tenían miopía en el año 2015 y compararla con la proporción de personas que tenían miopía en el año 2000 así que nuestra hipótesis nula es que no hay diferencia entre estas dos proporciones es decir que la proporción verdadera de personas que tienen novia en el año 2015 es igual a la proporción verdadera de personas que tuvieron noviembre en el año 2000 mientras que nuestra hipótesis alternativa es lo que ellos sospechan que la miopía es cada vez más común por lo tanto estas serían las situaciones en donde la proporción verdadera de personas que tienen la playa en el año 2015 es mayor que la proporción verdadera de personas que tuvieran miopía en el año 2000 en este caso la miopía estaría siendo cada vez más común porque el 2015 pasó después que el 2000 antes de seguir con la prueba de nuestra hipótesis nula para saber si la rechazamos o no y con esto ver si sugerimos la alternativa tenemos que revisar las condiciones para la inferencia esto ya lo hemos hecho varias veces la primera es la condición de aleatoriedad y parece que se satisfacen porque en ambas muestras tenemos personas seleccionadas aleatoriamente por lo tanto se satisface la segunda es la condición de normalidad la cual nos dice que necesitamos tener al menos 10 éxitos y 10 fracasos para cada una de las muestras lo cual es completamente cierto puedes verlo aquí no que sea un éxito tener miopía sino que en la forma en la que construimos este problema podemos llamar éxito al tener un paciente con miopía y 400 menos 132 son los fracasos que también son mayores que 10 y lo mismo para la muestra del 2015 y por último tenemos la condición de independencia hay dos maneras para que se satisfagan esta condición o estás mostrando por reemplazo o tienes confianza en que el tamaño de la muestra es menor que el 10% de la población parece que estamos en lo correcto al decir que incluso con esta muestra de 600 personas hay más de 6 mil personas en el mundo por lo tanto creo que es razonable pensar que se satisface la condición de independencia ahora lo siguiente que debes de hacer en una prueba de hipótesis es establecer un nivel de significancia es decir alfa y en esta ocasión me tomaré a un nivel de significancia de 0.05 ahora vamos a suponer la hipótesis nula vamos a decir que es verdadera y pensar en cuál es la probabilidad de obtener una diferencia entre las proporciones del año 2015 y del año 2000 que sea al menos igual de grande que la que tenemos la probabilidad es menor que nuestro nivel de significancia entonces rechazaríamos la hipótesis nula y sugeriríamos la alternativa si esa probabilidad es mayor que nuestro nivel de significancia entonces no podemos rechazar la hipótesis nula y por lo tanto no tenemos evidencia en favor de la sospecha de los investigadores así que continuemos lo que queremos hacer es encontrar un valor z o un puntaje z por lo tanto nuestra zeta será igual a la proporción muestral en el año 2015 menos la proporción muestral en el año 2000 todo eso dividido entre la desviación estándar de la distribución muestral de las diferencias de las proporciones muestrales entre el año 2015 y el año 2000 ahora esta seta será una aproximación ya que podemos calcular el numerador de manera exacta sin embargo el denominador lo vamos a estimar el numerador será el año 2015 en el año 2015 228 casos de 600 mientras que en el año 2000 teníamos 132 casos de 400 y todo esto entre la raíz cuadrada y lo que usaremos en el denominador dentro del radical será la proporción combinada no voy a escribir como p sombrero sub índice y la razón del por qué usamos la proporción combinada y esto lo hemos mencionado en vídeos anteriores es que cuando hacemos una prueba de hipótesis suponemos que la hipótesis nula es verdadera y si la hipótesis nula es verdadera entonces no hay diferencia entre las proporciones del 2015 y del 2000 así que para obtener una mejor estimación de la proporción verdadera podemos simplemente sumar nuestras muestras así que el tamaño de la muestra serán 600 + 400 y el número de casos de miopía serán 228 132 lo que nos da 360 entre 1000 0.36 y podemos usar eso en la expresión cuando intentamos estimar nuestra desviación estándar con esto el radical será bueno 0.36 que multiplican a 1 - 0.36 lo cual es 0.64 entre el tamaño de la muestra en el 2015 que es de 600 mas 0.36 que multiplican a 1 - 0.36 que es 0.64 entre el tamaño de la muestra en el 2000 que es de 400 y ahora antes de sacar la calculadora creo que puedo simplificar esto un poco porque 228 en 36 de esos 38 y 600 en 36 es 100 entonces esto me darán 0.38 y 132 entre 4 es igual a 33 entre 100 que es 0.33 por lo tanto nuestro numerador va a ser de 0.05 ahora si ya puedo traer mi calculadora y poner esto que estoy escribiendo lo cual me va a dar aproximadamente igual 0.05 entre la raíz cuadrada de 0.36 puntos 0.64 esto entre 600 + 0.36 x 0.64 entre 400 y esto va a ser aproximadamente igual a bueno me dan un 1.61 déjame escribirlo aproximadamente igual a 1.61 entonces una forma de pensar acerca de esto es que la diferencia que obtuvimos entre las proporciones muestrales del año 2015 y del año 2000 de 0.05 esta a 1.61 desviaciones estándar por arriba de la media de nuestra distribución muestral si suponemos que la hipótesis nula es verdadera ya partir de esto podemos calcular nuestro valor p recuerda nuestro valor p va a ser igual a la probabilidad de que nuestro puntaje z sea mayor o igual a 1.61 una forma de pensar en esto de manera visual es que si observamos nuestra distribución muestral en realidad podríamos fijarnos en cualquier distribución normal ya que normalizamos para z estamos viendo un punto que están a 1.61 desviaciones estándar por encima de la media por lo tanto z es igual a 1 61 de modo que estamos pensando en esta área de aquí la cual sería nuestro valor p y para ayudarnos vamos a sacar nuestra tabla zeta y vemos que esta tabla zeta nos da el área acumulada hasta un cierto puntaje etcétera por lo tanto lo que sea que obtengamos tendremos que tomar la resta de 1 menos ese valor si nos fijamos en 1.61 obtenemos 0.9 mil 463 así que serían uno menos 0.9 mil 463 lo cual es 0.0 537 y observa que este valor p es ligeramente mayor que nuestro nivel de significancia esta es la razón del por qué fijamos nuestro nivel de significancia antes de todo el procedimiento no queremos caer en la tentación de decir ok estoy tan cerca déjame subir mi nivel de significancia un poquito para que pueda rechazar mi hipótesis nula y así tener algo que contarles a mis amigos no eso no sería buena ciencia y eso no sería buena estadística necesitamos ser disciplinados por lo tanto dado que nuestro valor pm es mayor que nuestro nivel de significancia aunque varía por una cantidad muy pequeña podemos concluir que no podemos rechazar la hipótesis nula y otra forma de pensar en esto dado el contexto de la pregunta es que podemos decir que no hay suficiente evidencia para sugerir que la miopía es cada vez más común y hemos terminado nos vemos pronto