La multiplicación como escalamiento con fracciones

Tenemos tres expresiones por aquí: la  primera es 2/3 x 7/8, la segunda es 8/7   x 2/3 y la tercera expresión es 5 x 2 / 3  x 5. Y en este momento quiero que pauses   el video y pienses ¿cuál de estas expresiones  es la mayor?, ¿cuál está en medio pensando en   términos de su valor? y ¿cuál es la menor? Sin  embargo, quiero que pienses en esto sin hacer   las operaciones correspondientes, es decir, sólo  obsérvalas e intenta encontrar cuál es la mayor,   cuál es la menor y cuál está en  medio. Así que pausa el video ahora. Bien espero que ya lo hayas intentado, pero  te daré una pequeña pista en caso de que hayas   tenido problemas para encontrar la respuesta.  Observa que todas estas expresiones involucran   la multiplicación de algo por 2/3: tenemos  2/3 por aquí, 2/3 por acá y tal vez no sea muy   evidente pero también tenemos 2/3 por aquí. Déjame  reescribir esto para que quede mucho más claro.   La primera expresión puede escribirse como 7/8 x  2/3, la segunda expresión puede escribirse como,   bueno, ya está escrita como 8/7 x 2/3, y luego  esta última expresión podemos reescribirla como,   en el numerador 5 x 2, mientras que  en el denominador tendremos 5 x 3,   esto es lo mismo que 5/5 x 2/3. Así que  ya está, puedes ver que en estas tres   expresiones involucran algo multiplicado por  2/3. Ahora bien, si lo pensamos de esta forma,   es más fácil elegir cuál de estos es el  mayor, cuál es el menor y cuál es el de   en medio. Te invito a que de nuevo pauses el  video si no lo habías pensado de esta forma. Bien, visualicemos cada una de estas expresiones.  Empecemos con 2/3. Digamos que la altura de esta   barra que estoy dibujando es de 2/3,  es decir, esto de aquí representa 2/3,   su altura es 2/3. Primero pensemos en lo que  representa esta multiplicación de la derecha:   tenemos 5/5 x 2/3. Bueno ¿a qué es igual 5/5?  Cinco quintos es lo mismo que 1, literalmente esto   es lo mismo que 1 x 2/3, toda esta expresión es lo  mismo que 1 x 2/3 o simplemente 2/3. Por lo tanto,   podemos ver que esta altura, es decir, estos 2/3  = 5 x 2 / 3 x 5 que es esta tercera expresión.   Bien, ahora pensemos en cómo se ven estas otras  dos expresiones. Tenemos 7/8 x 2/3. Esto es,   bueno, menor que 8/8 x 2/3, tenemos algo menor  que 1 x 2/3, y por lo tanto vamos a reducir 2/3   proporcionalmente, es decir, el resultado de esta  multiplicación es menor que 2/3, será 7/8 de 2/3,   así que esta primera expresión 7/8 x 2/3 que  tenemos aquí, se va a ver así, vamos a dibujarla.   Si la altura amarilla es de 2/3, entonces  esta altura verde por acá será 7/8 x 2/3.   Bien, de la misma forma podemos ver esta segunda  expresión: 8/7 x 2/3. Bueno, 8/7 es mayor que 7/7,   es mayor que 1, y por lo tanto, esto es  mayor que 2/3, es un entero y 1/7 x 2/3,   dicho de otra manera, esto es lo mismo que la  altura de 2/3 + 1/7 de esa altura, por lo tanto,   se va a ver algo así. Esta vez estamos aumentando  2/3 proporcionalmente, ya que 8/7 es mayor que 1,   así que esta altura que tenemos aquí será 8/7  x 2/3. Por lo tanto, la forma en la que podemos   identificar cuál de estas expresiones es la mayor,  cuál es la menor y cuál es la de en medio, es   preguntarnos cómo se está escalando a 2/3. En esta  tercera expresión estamos multiplicando 2/3 x 1,   por lo tanto sólo obtenemos 2/3, no lo reducimos  ni ampliamos. En esta primera expresión estamos   reduciendo todos los tercios de acuerdo a una  escala, ya que multiplicamos por algo menor que 1,   si multiplicamos 2/3 por un número positivo  menor que 1 lo estamos reduciendo, es decir,   si multiplicamos por un número entre 0  y 1 reducimos la altura, por lo tanto,   aquí redujimos de acuerdo a una escala, y es por  esto que esta primera expresión será la menor.   Mientras que por acá estamos multiplicando 2/3  por un número mayor que 1, por un entero y 1/7,   así que aumentamos de acuerdo a una escala, y  entonces esta expresión 8/7 x 2/3 es la mayor,   la menor es 7/8 x 2/3, mientras que la  tercera expresión es la de en medio.