Propiedades de la multiplicación

en este vídeo ahora tenemos tres grandes bloques llamaremos este un gran bloque dos y tres en el que en cada uno tenemos 24 pelotas verdes ustedes pueden pausar el vídeo y contarlas si así lo desean y el objetivo de este vídeo es que ustedes vean cómo podemos llegar a este mismo número 24 por diferentes caminos y esto a través de la multiplicación vamos a empezar con este primer conjunto que tenemos en color morado y también vemos aquí con color azul que está uniendo algunas de estas pelotas así es que contemos aquí tenemos aquí tenemos un primer conjunto de cuatro pelotas un segundo conjunto de cuatro pelotas y este es el tercer conjunto de cuatro pelotas tenemos tres veces cuatro pelotas en este primer bloque morado en este segundo bloque tenemos exactamente lo mismo tenemos un conjunto de cuatro pelotas dos conjuntos de cuatro pelotas tres conjuntos de cuatro pelotas y lo volveremos a marcar aquí 3 conjuntos de cuatro pelotas o tres por cuatro tenemos dos veces 3 por 4 3 por 4 una vez 3 por 4 otra vez así es que vamos a colocarlo como 2 veces es por cuatro o lo que es lo mismo dos por tres por cuatro y esto nos debe de dar 24 vamos a ver si nosotros primero hacemos este paréntesis tendremos que 3 por 4 es igual a 12 y si 2 se lo multiplicamos por 2 pues tenemos 24 vamos a hacer este segundo bloque y los invito a qué pausa en el vídeo y ustedes solos vayan viendo que tenemos ahora el conjunto en azul y luego tenemos el bloque en morado para que ustedes solos lo vayan haciendo asumiendo que han parado el vídeo contaremos entonces aquí que tenemos un bloque de 4 y otro bloque de cuatro dentro de este conjunto morado así es que colocaremos dos veces tenemos conjuntos de cuatro pelotas o dos por cuatro dos por cuatro este es el primero de cuatro y este es el segundo conjunto de cuatro haremos lo mismo aquí tenemos un conjunto de cuatro dos conjuntos de cuatro es decir dos por cuatro y lo mismo haremos de este lado tenemos otra vez dos por cuatro ahora nuestro gran conjunto púrpura tiene tres de estos bloques uno dos tres grandes bloques morados por lo que pondremos que tenemos tres veces la multiplicación de dos por cuatro 2 x 4 una vez 2 por 4 2 veces 2 por 4 3 veces tenemos 3 por 2 x 4 ahora esto nos dará 24 también debería ver si nos damos cuenta 2 por 4 es igual a 8 8 por 3 es igual a 24 de la misma manera que teníamos aquí pero se dan cuenta hemos estado cambiando del orden de esto y más adelante le daré los nombres elegantes que se usan en las matemáticas para este caso vamos a hacer este último bloque los invito a que ustedes pausa en el vídeo lo hagan sólo como lo hemos hecho anteriormente y veamos si también nos da 24 asumiendo que pararon el vídeo y que ustedes lo intentaron por su cuenta ahora podemos ver que estos grupos sólo contienen tres en la línea azul pero que cada uno de nuestros conjuntos morados contiene dos veces estos pequeños grupos que están unidos por la línea azul así es que tenemos uno por tres 2 por 3 2 por 3 de la misma manera aquí tenemos 1 2 3 un conjunto de tres y este será el segundo conjunto de tres dentro del grupo morado dos por tres haremos lo mismo aquí abajo 2 por 3 lo tenemos en este gran conjunto morado y una vez más uno por 3 y 2 por 3 2 por 3 cuantos bloques de 2 por 3 tenemos pues tenemos 1 2 3 4 así es que colocaremos nuestra multiplicación como cuatro por dos por tres y es decir tenemos cuatro grandes conjuntos que tienen cada uno dos grupos de tres pelotas verdes esto nos debería de dar 24 vamos a ver si es cierto 2 por 3 es igual a 6 6 x 4 es igual a 24 cada vez nos dimos cuenta que tenemos como resultado final 24 y esta primer propiedad de las que les hablaba va a ser la propiedad asociativa qué significa eso significa que si estamos multiplicando dos o tres son más números entre ellos y se están agrupando de diferente manera no importa el orden de los mismos es decir aquí tenemos dos por tres por cuatro si se dan cuenta que tenemos tres por dos por cuatro no importa cómo estemos asociando estos dado que todos nos darán exactamente el mismo resultado aquí hemos asociado el 2 por el 3 aquí el 3 por el 4 y aquí el 2 por el 4 sin embargo los únicos números constantes que hemos manejado son 2 4 y 3 así es que esta propiedad asociativa nos indica que no importa como los asociamos siempre vamos a tener el mismo resultado y aquí lo hemos visto con 24 vamos a hacer otro ejemplo completamente nuevo para explicarles la sociedad conmutativa hicimos más espacio y ahora les tengo otro ejemplo que qué tal que ahora tenemos 4 por 5 por 6 ustedes pueden hacer algo pueden hacer tal vez 4 x 5 y todo esto multiplicarlo por 6 digamos que hacer primero 4 por 5 y luego multiplicarlo por 6 o pueden hacer lo siguiente que tal que ahora van a ser primero 5 por 6 y después multiplicar todo eso por 4 esta es la propiedad asociativa que les decía no importa qué es lo que asocien primero teniendo todas estas multiplicaciones vamos a tener exactamente el mismo resultado y los invito a que ustedes resuelvan cuánto es 4 por 5 y después multiplicar eso por 6 o multiplicar 5 por 6 y todo ello multiplicarlo al final por 4 esta es la propiedad asociativa ok y tenemos otra en la que nos indica que no importa el orden es exactamente lo mismo si nosotros multiplicamos 4 por 5 por 6 que si multiplicamos 5 x 4 se dan cuenta como simplemente alterne este número primero tenemos el 4 y luego el 5 y ahora tenemos primero el 5 y luego el 4 y lo multiplicamos por 6 o incluso es lo mismo si nosotros multiplicamos 6 por 5 por 4 estoy otra vez alternando aquí primero tenía el 5 por 4 y ahora tengo primero el 6 esto se llama propiedad conmutativa y nos indica que el orden no nos está afectando en el resultado tanto la propiedad asociativa como la propiedad conmutativa son nombres super elegantes para algo que es racionalmente sencillo la conmutativa nos indica que el orden de nuestros factores no nos altera el resultado mientras que la propiedad asociativa nos indica que no importa si hacemos primero cuatro por cinco asociando estos dos números y al final multiplicarlos por el que nos queda o si multiplicamos primero cinco por seis mientras los factores sean exactamente los mismos números estamos claros nos vemos en otro vídeo