Por qué multiplicar un negativo por un negativo tiene sentido

Imagina que tú, un antiguo filósofo matemático,  has concluido que para que la multiplicación de   números positivos y negativos sea consistente  con todo lo que has desarrollado hasta ahora, con   todas las demás propiedades de la multiplicación  que conoces hasta ahora, necesitas que un número   negativo multiplicado por un número positivo o un  número positivo por un negativo te dé un número   negativo, y que un número negativo multiplicado  por otro número negativo te dé un número positivo.   Así lo aceptas, todo es consistente hasta ahora,  pero en realidad no tiene un sentido concreto   completo para ti, y quieres tener una intuición un  poco más profunda, más que simplemente aceptar que   es consistente con la propiedad distributiva  y todo lo demás. Entonces intentas hacer otro   ejercicio mental, dices "Bueno, ¿cómo funciona  la multiplicación básica?" Entonces, si digo 2   x 3. Una forma de conceptualizar esto es que la  multiplicación básica en realidad es una suma   repetitiva, por lo que podrías ver esto como dos  veces 3, literalmente es 3 + 3, y observa que hay   dos de estos; o podrías verlo como tres veces dos,  por lo que esto es lo mismo que 2 + 2 + 2, y hay   tres de ellos. Ambas formas de conceptualizarlo  te darán exactamente la misma respuesta:   esto va a ser igual a 6. Esto ya lo sabías desde  antes de intentar abordar los números negativos,   ahora intentemos hacer negativo uno de estos y  veamos qué sucede. Hagamos 2 x -3. Voy a poner   el negativo en un color diferente, hay 2 x -3.  Bueno, una forma de visualizar esto es usar la   misma analogía de arriba: es 3 negativo 2 veces.  Intentaré usar un código de color: 3 negativo y   luego otro 3 negativo, o podría decir 3 negativo  -3 o, y esto es interesante: si vemos aquí arriba,   en 2 x 3 sumamos 2 tres veces, pero como aquí hay  2 x -3 también podrías imaginar que vas a restar   el 2 tres veces. Entonces aquí arriba pude haber  escrito + 2 + 2 + 2 porque este es un 3 positivo,   pero ya que aquí tenemos un 3 negativo podemos  imaginar que restaremos 2 tres veces, por lo que   aquí restamos 2, por acá restamos otro 2 y luego  restamos otro 2. Observa que de nuevo lo hiciste   tres veces, entonces como este es un 3 negativo,  esencialmente estás restando 2 tres veces,   y de cualquier forma en que lo pienses obtendrás 6  negativo. Ya comenzamos a sentirnos mejor con esta   parte de aquí: negativos por positivos o positivos  por negativos te darán un negativo. Ahora veamos   a lo que no es intuitivo. Al multiplicar negativo  por negativo de repente se cancelan los negativos   y queda un positivo, ¿por qué ocurre esto?  Bueno, podemos usar este ejemplo de aquí.   Digamos que tenemos 2 negativo multiplicado  por 3 negativo. Haré primero esta forma,   vamos a multiplicar algo por 3 negativo, de  modo que restaremos repetidamente esto tres   veces sin importar qué sea. Pero ahora esto  no es un 2 positivo, lo que vamos a restar   tres veces es un 2 negativo. Permíteme aclararlo:  aquí dice que tenemos que restar algo tres veces,   entonces restamos algo tres veces, eso es lo que  nos indica esta parte de aquí, y haremos esto   exactamente tres veces, aquí arriba restamos  2 positivo tres veces. Ahora será 2 negativo,   y sabemos desde que aprendimos a restar números  negativos que restar un negativo es lo mismo que   sumar un positivo, por lo que esto va a ser lo  mismo que 2 + 2 + 2, lo que de nuevo nos da 6   positivo. Puedes aplicar la misma lógica de aquí,  pero ahora en lugar de sumar 3 negativo dos veces,   que pude haber escrito como la suma de 3 negativo  más 3 negativo, es decir, sumar -3 dos veces,   ahora vamos a restar 3 negativo dos veces. Vamos a  restar algo y vamos a restar de nuevo ese algo, y   ese algo va a ser el 3 negativo: así que negativo,  negativo, y poner nuestros 3 aquí. Y una vez más:   restar un negativo es como quitarle a alguien su  deuda, que es esencialmente darle dinero; esto es   lo mismo que sumar 3 + 3, que nuevamente da como  resultado 6. Así que ahora tú, como el antiguo   filósofo, te sientes bastante bien, no sólo todo  esto es consistente con todas las matemáticas   que conoces: la propiedad distributiva, la  propiedad asociativa, todas estas cosas que   ya sabes. Y ahora esto realmente tiene sentido  para ti, esto en realidad es consistente con la   noción original o una de las posibles nociones  de la multiplicación como una suma repetida.