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Aritmética - Preparación Educación Superior

Curso: Aritmética - Preparación Educación Superior > Unidad 7

Lección 3: Resolución de situaciones con porcentajes

Resolución de problemas que involucra el cálculo de porcentajes

Google Classroom

Resolución de problemas que involucran situaciones relacionadas con aumentos y descuentos porcentuales sucesivos

Lo que necesitas saber para esta lección

Previamente debes revisar la lección sobre problemas verbales que involucran porcentajes

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás a resolver problemas sobre porcentajes que incluyen situaciones relacionadas a aumentos y descuentos sucesivos.

Situaciones elementales sobre porcentajes

Como ya sabes, las partes de un todo se expresan mediante fracciones. Cuando el denominador de la fracción es el número

100

, hablamos de porcentajes (por cada cien). Eso significa que el porcentaje de una cantidad se puede entender como la fracción de la forma

\frac{a}{100}

, que se expresa simbólicamente mediante la representación

a %

De esta forma se tiene diversas equivalencias:

$10 % = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ ‍
$20 % = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$ ‍
$40 % = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$ ‍
$50 % = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ ‍
$75 % = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ ‍
$12, 5 % = \frac{12, 5}{100} = \frac{1}{8}$ ‍

También podemos expresar una fracción como porcentaje u obtener el porcentaje de una cantidad dada.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Expresar como porcentaje la fracción

\frac{3}{5}

Resolución

Para encontrar la fracción equivalente con denominador

100

, amplificamos la fracción original:

\frac{3}{5} = \frac{3 \times 20}{5 \times 20} = \frac{60}{100}

Por tanto, el porcentaje es

60 %

Ejemplo 2

Calcular el

20 %

de 60.

Resolución

Dado que

20 %

se puede expresar como

\frac{20}{100} = \frac{1}{5}

, reemplazamos y tenemos que:

20 % \times 60 = \frac{1}{5} \times 60 = 12

Luego, el

20 %

60

12

Ejemplo 3

Si sabemos que el

5 %

de un número es

40

. ¿De qué número se trata?

Resolución

Una estrategia para obtener el número buscado, consiste en utilizar una ecuación. Observa:

Si consideramos que el número es

x

, se plantea

5 % (x) = 40 \Rightarrow \frac{5}{100} (x) = 40 \Rightarrow x = 800

Luego, el número es

800

Ejemplo 4

Calcula qué porcentaje de

150

45

Resolución

Para esta situación, al igual que en el ejemplo anterior, utilizamos una ecuación. Observa:

Si consideramos que el número pedido es

x %

, se plantea:

(x %) (150) = 45 \Rightarrow \frac{x}{100} (150) = 45 \Rightarrow x = 30

Luego, el

30 %

150

45

Aumentos y descuentos porcentuales sucesivos

Aumentos sucesivos

Cuando nos referimos a aumentos porcentuales sucesivos, nos referimos a una situación en la que, al tener una cantidad inicial, se le aumenta un porcentaje de dicha cantidad. Luego, nuevamente, se aumenta otro porcentaje, pero sobre el nuevo monto (que se obtiene del primer aumento), y así un número limitado de veces.

Veamos un ejemplo:

A Juan le aumentarán el sueldo en un

8 %

ya que fue un acuerdo de la empresa con el sindicato de trabajadores, pero adicionalmente le aumentarán un

10 %

por la evaluación personal de su trabajo. Si actualmente gana

2,500

dólares mensuales, ¿cuál será su sueldo, luego de los aumentos descritos? ¿Qué porcentaje total de aumento recibirá Juan?

Resolvamos la situación

Primer aumento

El aumento por acuerdo de la empresa es el

8 %

2,500

dólares. Haciendo los cálculos respectivos encontramos que el aumento es de

200

dólares. Por tanto el sueldo mensual con el aumento es de

2,500 + 200 = 2,700

dólares.

Segundo aumento

Adicionalmente, Juan recibirá un aumento del

10 %

respecto a su nuevo sueldo (que es

2,700

dólares). Es decir, recibirá

270

dólares de aumento adicional.

Por tanto, al final recibirá el sueldo mensual de:

2,700 + 270 = 2,970

dólares

Porcentaje total de aumento

Para calcular el porcentaje total de aumento, comparamos las cantidades mediante una razón

[¿Explícame esto, por favor?]

Veamos:

\frac{2970}{2500} = 1,188 que equivale al 118.8 %

Es decir, el aumento total es del

18.8 %

Descuentos sucesivos

Cuando nos referimos a descuentos porcentuales sucesivos, nos referimos a que, al tener una cantidad inicial, se le disminuye un porcentaje de dicha cantidad. Luego, nuevamente, se disminuye otro porcentaje, pero sobre el nuevo monto (que se obtiene del primer descuento), y así un número limitado de veces.

Veamos un ejemplo:

El precio de un televisor en una tienda de electrodomésticos es de

3,500

dólares. Por temporada de fiestas en dicha tienda se aplica una oferta por la compra de televisores. Primero se aplica una rebaja de

50 %

sobre el precio ofrecido y, adicionalmente otro descuento de

20 %

¿Cuál es el precio de venta final del televisor?

Resolvamos la situación

Primer descuento

El primer descuento (del

50 %

) se realiza sobre el precio ofrecido (

3,500

). Así, el descuento es de

1,750

(que es

50 %

3,500

Por tanto el precio del televisor será de

3,500 - 1,750 = 1,750

dólares.

Segundo descuento

También, se realiza un descuento adicional (del

20 %

). De ese modo, el descuento adicional será de

350

(que es

20 %

1,750

Encontramos que el precio de venta final del televisor es

1,750 - 350 = 1,400

dólares.

Variación porcentual

Pedro estuvo investigando sobre la migración de ciudadanos venezolanos en el Perú durante el año 2018. Encontró la siguiente tabla:

Al observar la tabla, Pedro se planteó las siguientes preguntas:

¿En cuánto varió la inmigración mensual entre los meses de enero y febrero del 2018?
¿Cuál fue la variación porcentual de migrantes venezolanos hombres entre los años 2017 y 2018?

Para responder la primera pregunta, empleamos los siguientes datos:

En enero del 2018 la cantidad de venezolanos migrantes fue de $34,553$ ‍.
En febrero del 2018 la cantidad de venezolanos migrantes fue de $43,085$ ‍.

De los datos anteriores, observamos que la cantidad de venezolanos aumentó en

8,532

(

43,085 - 34,553

). Calculamos que

8,532

equivale aproximadamente a

24.7 %

de la cantidad de venezolanos en enero del 2018.

[¿Cómo se obtuvo este valor?]

Es decir, de enero a febrero del 2018, la cantidad de migrantes venezolanos aumentó en

24.7 %

Para responder la segunda pregunta, empleamos los siguientes datos obtenidos de la tabla:

En el año 2017 la cantidad acumulada de migrantes venezolanos hombres fue de $64,005$ ‍.

En el año 2018 la cantidad acumulada de migrantes venezolanos hombres fue de $336,058$ ‍.

De los datos de la tabla, observamos que la cantidad de venezolanos migrantes hombres aumentó en

272,053

(

336,058 - 64,005

).
Calculamos que

272,053

equivale aproximadamente a

425 %

de la cantidad de venezolanos migrantes hombres en el año 2017.

[¿Cómo se obtuvo este valor?]

Es decir, del año 2017 al 2018, la cantidad de migrantes venezolanos hombres aumentó aumentó en

425 %

Situación de aumento y descuento

Hay situaciones donde se debe aplicar aumentos y descuentos a ciertas cantidades, dependiendo de ciertas condiciones. Estas situaciones podrían estar relacionadas a aspectos cotidianos financieros.

Veamos un caso

Marcos compró una lavadora a

800

dólares y la vendió a Patricio con el

20 %

de ganancia. Tiempo después, Patricio le vende la lavadora a Marcos con una rebaja del

20 %

. ¿Es cierto que Marcos ganó $190$ ‍ dólares?

Resolución

Como algunos pueden percibir, aparentemente Marcos no gana ni pierde en la venta y compra de la lavadora. Sin embargo, pensar de esa forma invita al error.

Para resolver este tipo de situaciones, debemos comprender que tanto la ganancia y el descuento porcentual se aplica a cantidades diferentes.

Observa:

Como Marcos vende la lavadora considerado el

20 %

de ganancia, este porcentaje se relacionará al precio de compra (

800

dólares en este caso).

Así, si consideramos a

P

el precio de venta de la lavadora, se tiene:

Donde:

P = 800 + 20 % (800) \Rightarrow P = 960

Es decir, Patricio compró la lavadora a

960

dólares, pero después de un tiempo él decide venderla a Marcos con un descuento del

20 %

Donde

M = 960 - 20 % (960) \Rightarrow 768

Por tanto, al final de las dos transacciones, Marcos ganó 192 dólares, ya que:

960 - 768 = 192

Forma práctica

La variación representa la diferencia entre un valor final y uno inicial.

Una forma práctica de calcular la variación porcentual (

VP

) se muestra a continuación:

VP = [\frac{Valor final - Valor inicial}{Valor inicial}] \times 100 %

Veamos un ejemplo para mostrar esta regla práctica:

El lado de un terreno de forma cuadrangular aumenta en

40 %

. ¿En qué porcentaje varía su área?

Resolución

Consideramos

5 a

el lado del terreno inicial,

[¿Por qué consideran esta expresión?]

dado que aumenta en

40 %

, la nueva longitud será

7 a

[¿Cómo se obtuvo esta expresión?]

Observa:

Como podemos observar, el área inicial es

25 a^{2}

, mientras el área final es

49 a^{2}

Ahora, calculamos la variación porcentual del área del cuadrado.

\begin{aligned} VP & = [\frac{49 a^{2} - 25 a^{2}}{25 a^{2}}] \times 100 % \\ = [\frac{24 a^{2}}{25 a^{2}}] \times 100 % \\ = 96 % \end{aligned}

Por tanto, la variación porcentual es del

96 %

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eladiogerman01
Publicado hace hace 8 meses. Enlace directo a la publicación “Profe q vamos hacer hay s...” de eladiogerman01
Profe q vamos hacer hay si eso va en el cuaderno o q
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