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Contenido principal

Resolución de problemas que involucra el cálculo de porcentajes

Resolución de problemas que involucran situaciones relacionadas con aumentos y descuentos porcentuales sucesivos

Lo que necesitas saber para esta lección

Previamente debes revisar la lección sobre problemas verbales que involucran porcentajes

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás a resolver problemas sobre porcentajes que incluyen situaciones relacionadas a aumentos y descuentos sucesivos.

Situaciones elementales sobre porcentajes

Como ya sabes, las partes de un todo se expresan mediante fracciones. Cuando el denominador de la fracción es el número 100, hablamos de porcentajes (por cada cien). Eso significa que el porcentaje de una cantidad se puede entender como la fracción de la forma start fraction, a, divided by, 100, end fraction, que se expresa simbólicamente mediante la representación a, percent.
De esta forma se tiene diversas equivalencias:
  • 10, percent, equals, start fraction, 10, divided by, 100, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 10, end fraction
  • 20, percent, equals, start fraction, 20, divided by, 100, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction
  • 40, percent, equals, start fraction, 40, divided by, 100, end fraction, equals, start fraction, 2, divided by, 5, end fraction
  • 50, percent, equals, start fraction, 50, divided by, 100, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
  • 75, percent, equals, start fraction, 75, divided by, 100, end fraction, equals, start fraction, 3, divided by, 4, end fraction
  • 12, comma, 5, percent, equals, start fraction, 12, comma, 5, divided by, 100, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 8, end fraction
También podemos expresar una fracción como porcentaje u obtener el porcentaje de una cantidad dada.
Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Expresar como porcentaje la fracción start fraction, 3, divided by, 5, end fraction.
Resolución
Para encontrar la fracción equivalente con denominador 100, amplificamos la fracción original: start fraction, 3, divided by, 5, end fraction, equals, start fraction, 3, start color #df0030, times, 20, end color #df0030, divided by, 5, start color #df0030, times, 20, end color #df0030, end fraction, equals, start fraction, 60, divided by, 100, end fraction
Por tanto, el porcentaje es 60, percent.

Ejemplo 2

Calcular el 20, percent de 60.
Resolución
Dado que 20, percent se puede expresar como start fraction, 20, divided by, 100, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, reemplazamos y tenemos que:
20, percent, times, 60, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, times, 60, equals, 12
Luego, el 20, percent de 60 es 12.

Ejemplo 3

Si sabemos que el 5, percent de un número es 40. ¿De qué número se trata?
Resolución
Una estrategia para obtener el número buscado, consiste en utilizar una ecuación. Observa:
Si consideramos que el número es x, se plantea
5, percent, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 40, right arrow, start fraction, 5, divided by, 100, end fraction, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 40, right arrow, x, equals, 800
Luego, el número es 800.

Ejemplo 4

Calcula qué porcentaje de 150 es 45.
Resolución
Para esta situación, al igual que en el ejemplo anterior, utilizamos una ecuación. Observa:
Si consideramos que el número pedido es x, percent , se plantea:
left parenthesis, x, percent, right parenthesis, left parenthesis, 150, right parenthesis, equals, 45, right arrow, start fraction, x, divided by, 100, end fraction, left parenthesis, 150, right parenthesis, equals, 45, right arrow, x, equals, 30
Luego, el 30, percent de 150 es 45 .

Aumentos y descuentos porcentuales sucesivos

Aumentos sucesivos

Cuando nos referimos a aumentos porcentuales sucesivos, nos referimos a una situación en la que, al tener una cantidad inicial, se le aumenta un porcentaje de dicha cantidad. Luego, nuevamente, se aumenta otro porcentaje, pero sobre el nuevo monto (que se obtiene del primer aumento), y así un número limitado de veces.

Veamos un ejemplo:

A Juan le aumentarán el sueldo en un 8, percent ya que fue un acuerdo de la empresa con el sindicato de trabajadores, pero adicionalmente le aumentarán un 10, percent por la evaluación personal de su trabajo. Si actualmente gana 2, comma, 500 dólares mensuales, ¿cuál será su sueldo, luego de los aumentos descritos? ¿Qué porcentaje total de aumento recibirá Juan?

Resolvamos la situación

Primer aumento
El aumento por acuerdo de la empresa es el 8, percent de 2, comma, 500 dólares. Haciendo los cálculos respectivos encontramos que el aumento es de 200 dólares. Por tanto el sueldo mensual con el aumento es de 2, comma, 500, plus, 200, equals, 2, comma, 700 dólares.
Segundo aumento
Adicionalmente, Juan recibirá un aumento del 10, percent respecto a su nuevo sueldo (que es 2, comma, 700 dólares). Es decir, recibirá 270 dólares de aumento adicional.
Por tanto, al final recibirá el sueldo mensual de:
2, comma, 700, plus, 270, equals, 2, comma, 970 dólares
Porcentaje total de aumento
Para calcular el porcentaje total de aumento, comparamos las cantidades mediante una razón
Veamos:
start fraction, 2970, divided by, 2500, end fraction, equals, 1, comma, 188, start text, q, u, e, space, e, q, u, i, v, a, l, e, space, a, l, space, end text, 118, point, 8, percent
Es decir, el aumento total es del 18, point, 8, percent.

Descuentos sucesivos

Cuando nos referimos a descuentos porcentuales sucesivos, nos referimos a que, al tener una cantidad inicial, se le disminuye un porcentaje de dicha cantidad. Luego, nuevamente, se disminuye otro porcentaje, pero sobre el nuevo monto (que se obtiene del primer descuento), y así un número limitado de veces.

Veamos un ejemplo:

El precio de un televisor en una tienda de electrodomésticos es de 3, comma, 500 dólares. Por temporada de fiestas en dicha tienda se aplica una oferta por la compra de televisores. Primero se aplica una rebaja de 50, percent sobre el precio ofrecido y, adicionalmente otro descuento de 20, percent.
cincuenta por ciento de descuento
¿Cuál es el precio de venta final del televisor?

Resolvamos la situación

Primer descuento
El primer descuento (del 50, percent) se realiza sobre el precio ofrecido (3, comma, 500). Así, el descuento es de 1, comma, 750 (que es 50, percent de 3, comma, 500).
Por tanto el precio del televisor será de 3, comma, 500, minus, 1, comma, 750, equals, 1, comma, 750 dólares.
Segundo descuento
También, se realiza un descuento adicional (del 20, percent). De ese modo, el descuento adicional será de 350 (que es 20, percent de 1, comma, 750).
Encontramos que el precio de venta final del televisor es 1, comma, 750, minus, 350, equals, 1, comma, 400 dólares.

Variación porcentual

Pedro estuvo investigando sobre la migración de ciudadanos venezolanos en el Perú durante el año 2018. Encontró la siguiente tabla:
Movimiento migratorio
Al observar la tabla, Pedro se planteó las siguientes preguntas:
  • ¿En cuánto varió la inmigración mensual entre los meses de enero y febrero del 2018?
  • ¿Cuál fue la variación porcentual de migrantes venezolanos hombres entre los años 2017 y 2018?
Para responder la primera pregunta, empleamos los siguientes datos:
  • En enero del 2018 la cantidad de venezolanos migrantes fue de 34, comma, 553.
  • En febrero del 2018 la cantidad de venezolanos migrantes fue de 43, comma, 085.
De los datos anteriores, observamos que la cantidad de venezolanos aumentó en 8, comma, 532 (43, comma, 085, minus, 34, comma, 553). Calculamos que 8, comma, 532 equivale aproximadamente a 24, point, 7, percent de la cantidad de venezolanos en enero del 2018.
Es decir, de enero a febrero del 2018, la cantidad de migrantes venezolanos aumentó en 24, point, 7, percent.
Para responder la segunda pregunta, empleamos los siguientes datos obtenidos de la tabla:
  • En el año 2017 la cantidad acumulada de migrantes venezolanos hombres fue de 64, comma, 005.
  • En el año 2018 la cantidad acumulada de migrantes venezolanos hombres fue de 336, comma, 058.
De los datos de la tabla, observamos que la cantidad de venezolanos migrantes hombres aumentó en 272, comma, 053 (336, comma, 058, minus, 64, comma, 005).
Calculamos que 272, comma, 053 equivale aproximadamente a 425, percent de la cantidad de venezolanos migrantes hombres en el año 2017.
Es decir, del año 2017 al 2018, la cantidad de migrantes venezolanos hombres aumentó aumentó en 425, percent.

Situación de aumento y descuento

Hay situaciones donde se debe aplicar aumentos y descuentos a ciertas cantidades, dependiendo de ciertas condiciones. Estas situaciones podrían estar relacionadas a aspectos cotidianos financieros.

Veamos un caso

Marcos compró una lavadora a 800 dólares y la vendió a Patricio con el 20, percent de ganancia. Tiempo después, Patricio le vende la lavadora a Marcos con una rebaja del 20, percent. ¿Es cierto que Marcos ganó 190 dólares?

Resolución

Como algunos pueden percibir, aparentemente Marcos no gana ni pierde en la venta y compra de la lavadora. Sin embargo, pensar de esa forma invita al error.
Para resolver este tipo de situaciones, debemos comprender que tanto la ganancia y el descuento porcentual se aplica a cantidades diferentes.
Observa:
Como Marcos vende la lavadora considerado el 20, percent de ganancia, este porcentaje se relacionará al precio de compra (800 dólares en este caso).
Así, si consideramos a P el precio de venta de la lavadora, se tiene:
Porcentaje1
Donde:
P, equals, 800, plus, 20, percent, left parenthesis, 800, right parenthesis, right arrow, P, equals, 960
Es decir, Patricio compró la lavadora a 960 dólares, pero después de un tiempo él decide venderla a Marcos con un descuento del 20, percent.
Porcentaje 2
Donde M, equals, 960, minus, 20, percent, left parenthesis, 960, right parenthesis, right arrow, 768
Por tanto, al final de las dos transacciones, Marcos ganó 192 dólares, ya que:
960, minus, 768, equals, 192.

Forma práctica

La variación representa la diferencia entre un valor final y uno inicial.
Una forma práctica de calcular la variación porcentual (start text, V, P, end text) se muestra a continuación:
start text, V, P, end text, equals, open bracket, start fraction, start text, V, a, l, o, r, space, f, i, n, a, l, end text, minus, start text, V, a, l, o, r, space, i, n, i, c, i, a, l, end text, divided by, start text, V, a, l, o, r, space, i, n, i, c, i, a, l, end text, end fraction, close bracket, times, 100, percent
Veamos un ejemplo para mostrar esta regla práctica:
El lado de un terreno de forma cuadrangular aumenta en 40, percent. ¿En qué porcentaje varía su área?

Resolución

Consideramos 5, a el lado del terreno inicial, dado que aumenta en 40, percent, la nueva longitud será 7, a.
Observa:
Imagen de cuadrados
Como podemos observar, el área inicial es 25, a, squared, mientras el área final es 49, a, squared.
Ahora, calculamos la variación porcentual del área del cuadrado.
VP=[49a225a225a2]×100%=[24a225a2]×100%=96%\begin{aligned}\text{VP}&=\left[\dfrac{49a^2-25a^2}{25a^2}\right]\times 100\%\\\\ &=\left[\dfrac{24\cancel{a^2}}{25\cancel{a^2}}\right]\times 100\%\\\\ &=96\% \end{aligned}
Por tanto, la variación porcentual es del 96, percent.