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Aritmética - Preparación Educación Superior

Curso: Aritmética - Preparación Educación Superior > Unidad 6

Lección 12: Regla de tres simple y compuesta
Matemáticas
Aritmética - Preparación Educación Superior
Razones y proporciones
Regla de tres simple y compuesta
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Regla de tres simple y compuesta

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Regla de tres simple y compuesta

Lo que necesitas saber para esta lección

Antes de iniciar esta lección, debes revisar la lección sobre Introducción a las razones.

Lo que aprenderás en esta lección

Aprenderás las nociones y propiedades relacionadas a la regla de tres simple y regla de tres compuesta, aplicados en diversas situaciones.

Regla de tres simple

Antes de mostrar la regla de tres simple, debes recordar las nociones relacionadas a magnitudes directa e inversamente proporcionales.

Magnitudes directamente proporcionales

Analicemos la siguiente situación.

Situación

Marcos elabora una lista con los precios de arroz por kilogramos para su bodega. Observa:
RIce image
Arroz
Peso (en start text, space, k, g, end text)Precio (en dólares)
13, point, 00
26, point, 00
39, point, 00
412, point, 00
515, point, 00
Ahora, responde las siguientes preguntas:
Si analizamos la tabla, podemos afirmar que si el peso aumenta, entonces el precio también aumenta en la misma proporción. Es decir, hay una relación directa de dependencia que se puede plantear como una razón entre dos magnitudes, en este caso el peso y el precio.
6.002;9.003;15.005\begin{aligned} \dfrac{6.00}{2};\dfrac{9.00}{3};\dfrac{15.00}{5} \end{aligned}
Observa que en todos los casos, las razones son equivalentes:
6.002=9.003=15.005=3\begin{aligned} \dfrac{6.00}{2}=\dfrac{9.00}{3}=\dfrac{15.00}{5}=3 \end{aligned}
Por tanto, podemos afirmar que la constante de proporcionalidad directa es 3.
Preciopeso=3\begin{aligned} \dfrac{\text{Precio}}{ \text{peso}}=3 \end{aligned}
Así, cuando el cociente entre dos magnitudes es constante, se afirma que las magnitudes son directamente proporcionales.

Regla de tres simple directa

La regla de tres simple directa es un procedimiento que nos permite calcular el valor de una cantidad, conociendo otras tres cantidades relacionadas, que en conjunto forman una proporción de dos razones.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Marcos es comerciante de telas. En su tienda ofrece 3 metros de tela satinada por 12 dólares. ¿Cuál es el costo de 7, point, 5 metros de esta tela?
Resolución
En esta situación se observa que a mayor cantidad de tela, mayor será la cantidad de dinero por pagar. Por tanto, la cantidad de tela y el monto de dinero que se debe pagar por dicha cantidad son magnitudes que varían en forma directamente proporcional.
Cantidad de tela37, point, 5
Precio12x
Planteamos la relación:
312=7.5x⇒x=30\begin{aligned} \dfrac{3}{12}=\dfrac{7.5}{x} \Rightarrow x= 30 \end{aligned}
Finalmente, por 7, point, 5 metros de tela, se tendrá que pagar 30 dólares.

Ejemplo 2

Para preparar un plato de comida para 32 personas que asistirán a un evento, se necesitan 4, start text, space, k, g, end text de patatas. Si la mitad de las personas avisan que van a asistir acompañados de sus parejas, ¿cuántos kilogramos de patatas se necesitarán?
Resolución
Observa que en esta situación, a mayor cantidad de personas, mayor será la cantidad de patatas para preparar el plato de comida. Por tanto, la cantidad de personas invitadas al evento y los kilogramos de patatas son magnitudes directamente proporcionales.
Ahora, considerando la información propuesta en la situación, planteamos la siguiente tabla:
Cantidad de invitados3248
Kilogramos de patatas4x
Planteamos la relación:
324=48x⇒x=6\begin{aligned} \dfrac{32}{4}=\dfrac{48}{x} \Rightarrow x= 6 \end{aligned}
Finalmente, para las 48 personas que asistirán al evento, se necesitarán 6 kilogramos de patatas.

Magnitudes inversamente proporcionales

Analicemos la siguiente situación:

Situación

Cinthia maneja su automóvil y para tener un mejor consumo de combustible hace los cálculos y elabora una tabla que relaciona la velocidad con que circula desde el trabajo a su casa y el tiempo que demora.
Velocidad (km/h)1020255080
Tiempo (horas)105421, point, 25
Analiza la tabla y luego responde las siguientes preguntas:
Si analizamos la tabla, podemos afirmar que si la velocidad aumenta, el tiempo disminuye en relación inversa. Observa que existe un producto constante entre la velocidad y el tiempo:
10×10;20×5;25×4;50×2;80×1.25\begin{aligned} 10\times 10; 20\times 5; 25\times 4; 50\times 2; 80\times 1.25\end{aligned}
Cuyos productos son equivalentes:
10×10=20×5=25×4=50×2=80×1.25=100\begin{aligned} 10\times 10=20\times 5= 25\times 4= 50\times 2= 80\times 1.25 =\red{100} \end{aligned}
En este caso la constante de proporcionalidad inversa es 100.
Velocidad×distancia=100\begin{aligned} \text{Velocidad} \times \text{distancia}=\red{100} \end{aligned}
Así, cuando el producto entre los valores de dos magnitudes es constante, se afirma que las magnitudes son inversamente proporcionales.

Regla de tres simple inversa

La regla de tres simple inversa es un procedimiento que nos permite calcular el valor de una cantidad, conociendo otras tres cantidades relacionadas que en conjunto forma una proporción de dos razones.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Carlos y Alberto son pintores con la misma habilidad y calculan que necesitan 9 días para pintar la fachada de una casa de dos pisos. Para hacer el trabajo más rápido, contratan a un obrero igual de eficiente que ellos dos. ¿Cuántos días emplearán los tres obreros en pintar la fachada de dicha casa?
Resolución
Luego de leer con atención la información propuesta, puedes darte cuenta que la cantidad de obreros y el tiempo que tardan en pintar una casa son magnitudes inversamente proporcionales.
Así, planteamos:
Cantidad de obreros23
Cantidad de días9x
Planteamos la relación:
2×9=3(x)⇒x=6\begin{aligned} 2\times 9 = 3 (x) \Rightarrow x=6 \end{aligned}
Finalmente, los 3 obreros pintarán la fachada de la casa en 6 días.

Ejemplo 2

Un caño que vierte 4 litros de agua por minuto demora 2 horas en llenar un depósito. ¿Cuántas horas tarda en llenar el mismo depósito un caño que vierte 8 litros por minuto?
Resolución
De la situación se observa que a mayor capacidad de verter agua, menor será el tiempo necesario para llenar el depósito. Por tanto, la cantidad de litros por minuto y el tiempo de llenado del depósito son magnitudes inversamente proporcionales.
Cantidad de litros de agua por minuto48
Tiempo para llenar el depósito (horas)2x
Planteamos la relación:
2×4=8(x)⇒x=1\begin{aligned} 2\times 4 = 8 (x) \Rightarrow x=1 \end{aligned}
Finalmente, si el caño vierte 8 litros de agua por minuto, el depósito se llenará en una hora.

Regla de tres compuesta

En algunas situaciones se evidencia la relación entre tres o más magnitudes, las cuales pueden ser directa o inversamente proporcionales. En estas situaciones, primero se deben identificar las relaciones entre las magnitudes con la incógnita, es decir, con la magnitud desconocida y luego, determinar la correspondencia entre ellas.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

En la panadería "Más sabor" laboran 9 personas que, trabajando 8 horas, producen 150 pasteles de manzana. ¿Cuántas horas necesitan 12 trabajadores de igual eficiencia, para producir 375 pasteles de manzana?
Resolución
Como se señaló previamente, primero debemos identificar las magnitudes presentes en la situación, las cuales son:
  • Cantidad de trabajadores.
  • Tiempo de elaboración de los pasteles.
  • Cantidad de pasteles de manzana.
Analizando estas 3 magnitudes, notamos que la magnitud "tiempo de elaboración" es la incógnita que:
  • Es inversamente proporcional a "la cantidad de trabajadores" ya que a mayor cantidad de trabajadores, tomará menos tiempo la producción de los pasteles.
  • Es directamente proporcional a la "cantidad de pasteles", puesto que a mayor cantidad de trabajadores, más pasteles se podrán producir.
Podemos resumir la información de la situación en la siguiente tabla.
Cantidad de pastelesTiempo de elaboraciónCantidad de trabajadores
15089
375x12
Luego, planteamos las relaciones:
  • Tiempo de elaboración DP a la cantidad de pasteles.
  • Tiempo de elaboración IP a la cantidad de trabajadores.
Para la 1°fila:    8150×9Para la 2° fila:    x375×12\begin{aligned} &\text{Para la 1°fila:} \; \; \dfrac{8}{150}\times 9\\\\ &\text{Para la 2° fila:} \; \; \dfrac{x}{375}\times 12 \end{aligned}
Igualamos estos dos resultados:
8150×9=x375×12⇒72150=12x375⇒x=15\begin{aligned} \dfrac{8}{150}\times 9 = \dfrac{x}{375}\times 12 & \Rightarrow \dfrac{72}{150}=\dfrac{12x}{375} \\\\ &\Rightarrow x=15 \end{aligned}
Por tanto, el tiempo que necesitan 9 trabajadores para preparar 375 pasteles de manzana es de 15 días.

Ejemplo 2

En la construcción de un edificio, se observó que 16 obreros realizan start fraction, 1, divided by, 4, end fraction de una obra en 8 días. Si se contratan 8 obreros más para terminar la construcción en las mismas condiciones, ¿en cuántos días la nueva cantidad de obreros terminará la obra?
Resolución
Como en el caso anterior, primero debemos identificar las magnitudes presentes en la situación, las cuales son:
  • Cantidad de obreros.
  • Parte del avance de la obra.
  • Cantidad de días.
Analizando estas 3 magnitudes, notamos que la magnitud "cantidad de días" es la incógnita, que:
  • Es inversamente proporcional a la cantidad de obreros. Es decir, a mayor cantidad de obreros, menor cantidad de días se necesitarán para terminar la obra.
  • Es directamente proporcional a la parte del avance de la obra, puesto que a mayor cantidad de días, más parte de la obra se podrá avanzar.
Podemos resumir la información presente en la situación en la siguiente tabla.
Tiempo (días)Cantidad de obrerosAvance de la obra
816start fraction, 1, divided by, 4, end fraction
x24start fraction, 3, divided by, 4, end fraction
Luego, planteamos las relaciones
  • Tiempo IP a la cantidad de obreros.
  • Tiempo DP al avance de la obra.
Para la 1° fila:    8×1614Para la 2° fila:    x×2434\begin{aligned} &\text{Para la 1° fila:} \; \; \dfrac{8\times 16}{\dfrac{1}{4}}\\\\ &\text{Para la 2° fila:} \; \; \dfrac{x\times 24}{\dfrac{3}{4}} \end{aligned}
Igualamos estos dos resultados.
8×1614=x×2434⇒32×16=32×x⇒x=16\begin{aligned} \dfrac{8\times 16}{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{x\times 24}{\dfrac{3}{4}} & \Rightarrow 32 \times 16 =32 \times x\\\\ &\Rightarrow x=16 \end{aligned}
Por tanto, con 8 obreros más, tardarán 16 días en completar la obra.

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