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Contenido principal

Noción y determinación de conjuntos

Teoría de conjuntos (Noción y determinación de conjuntos)

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás a identificar un conjunto y sus diversas representaciones usando conceptos matemáticos.

Noción de conjunto

Observa con atención las siguientes imágenes:
*Teoría de conjuntos. Créditos: Cuba Educa, portal educativo cubano
De forma intuitiva, cada una de las agrupaciones representa a un conjunto, ya que tiene al menos una característica en común. De esa forma, para cada una de las figuras, se tiene:
  • Figura 1: Todos los objetos son muebles.
  • Figura 2: Todos los objetos son libros.
  • Figura 3: Todas las personas son profesionales.
A cada una de estas agrupaciones de objetos (que pueden también ser abstractos) se les denomina como conjunto, colección o reunión.
Formalmente no existe la definición de conjunto, este es un concepto intuitivo que se relaciona con la noción de conjunto que todos tenemos por experiencia cotidiana.
A los objetos que componen un conjunto se les llama elementos o miembros del conjunto.

Notación de un conjunto

Para denotar a un conjunto se acostumbra a usar letras mayúsculas, mientras las minúsculas se usan para sus elementos. Veamos algunos ejemplos.
  • El conjunto de los días de la semana cuando hay clases en el colegio se puede denotar por “S”.
  • Para denotar a los elementos del conjunto “S”, se puede utilizar a: lunes, b: martes, c: miércoles, d: jueves y e: viernes.
Comúnmente al conjunto y a sus elementos se les denota utilizando signos de colección, como las llaves ({}). Veamos cómo se denota el conjunto S que representa los días de la semana cuando hay clases en el colegio.
S={a,b,c,d,e}
o también:
S={Los días de la semana cuando hay clases en el colegio}

Diagramas de Venn

Otra forma de representar a los conjuntos consiste en utilizar diagramas de Venn. Mostramos a continuación el conjunto S utilizando diagramas de Venn.
Diagrama de Venn para el conjunto S
También se puede utilizar los diagramas de Venn para mostrar la relación entre varios conjuntos, veamos un caso:
Sean los conjuntos:
A={11,19,5,10}B={11,7,5,30}C={7,27,5,10}
Los representamos utilizando diagramas de Venn:
Diagrama de Venn para los conjuntos A, B y C.

Relación de pertenencia

La relación de pertenencia asocia a un elemento con su conjunto.
Si un elemento está en un conjunto, se dice que pertenece al conjunto y en este caso usamos el símbolo para mostrar esta relación.
Si un elemento no está en un conjunto, se dice que no pertenece al conjunto y en este caso usamos el símbolo para mostrar esta relación.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1
Para el conjunto, M={1,3,6,7,11}, se tiene:
  • 1C, lo que se lee, "1 pertenece al conjunto M.
  • 9C, lo que se lee, "9 no pertenece al conjunto M.
Ejemplo 2
Para el conjunto, Q={{2},2,{6,10},0}, se tiene:
  • {2}Q, lo que se lee, "{2} pertenece al conjunto Q.
  • 2Q, lo que se lee, "2 pertenece al conjunto Q.
  • {0}Q, lo que se lee, "{0} no pertenece al conjunto Q.
  • 6Q, lo que se lee, "6 no pertenece al conjunto Q.

Determinación de un conjunto

Un conjunto se puede representar por extensión y por comprensión.

Conjunto por extensión

Cuando se menciona de forma explícita a todos los elementos del conjunto. Los elementos se escriben uno a continuación del otro separados por el símbolo de coma (,).

Veamos algunos ejemplos:

  • El conjunto de los números primos menores que 10.
    A={2,3,5,7}
  • El conjunto de los vocales.
    B={a,e,i,o,u}
Ten en cuenta que el orden en el cual aparecen los elementos de un conjunto no afecta a la naturaleza del conjunto. Por ejemplo:
C={a,e,i,o,u}={e,u,i,a,o}

Conjunto por comprensión

Cuando se menciona de forma implícita a todos los elementos del conjunto. Se utiliza símbolos para representar una propiedad o característica común de los elementos del conjunto.
Ejemplificamos esta idea considerando los conjuntos mostrados anteriormente.
  • El conjunto de los números primos menores que 10.
    A={x/xes un número primo menor que 10}
  • El conjunto de los vocales.
    B={x/xes una vocal}

Otro ejemplo

Se tiene los conjuntos
P={2x+3/1<x<5;xN}Q={x2/2x<1;xZ}
Calcula la suma del menor elemento de P con el mayor elemento de Q.

Resolvemos la situación

Para el conjunto P:
Como xN, x debe ser igual a 2;3;4. Además, como los elementos del conjunto son de la forma 2x+3, remplazamos para obtener cada uno de los elementos del conjunto P. Observa.
  • Para x=2, se tiene 2(2)+3=7.
  • Para x=3, se tiene 2(3)+3=9.
  • Para x=4, se tiene 2(4)+3=11.
Luego el menor elemento de P es 7.
Para el conjunto Q
Como xZ, x debe ser igual a 2;1;0. Además, como los elementos del conjunto son de la forma x2, remplazamos para obtener cada uno de los elementos del conjunto Q. Observa:
  • Para x=2, se tiene (2)2=4.
  • Para x=1, se tiene (1)2=1.
  • Para x=0, se tiene (0)2=0.
Luego el mayor elemento de Q es 4.
Finalmente, la suma del menor elemento de P con el mayor elemento de Q es 7+4=11.

Comprueba tu comprensión

Ejercicio 1

Considera el conjunto:
A={0,3,3,2,1,{2}}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
Escoge 1 respuesta:

Ejercicio 2

¿Cuál de los siguientes conjuntos está expresado por comprensión?
Escoge 1 respuesta:

Ejercicio 3

¿Cuál de los siguientes conjuntos está expresado por extensión?
Escoge 1 respuesta:

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