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Contenido principal

Noción y determinación de conjuntos

Teoría de conjuntos (Noción y determinación de conjuntos)

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás a identificar un conjunto y sus diversas representaciones usando conceptos matemáticos.

Noción de conjunto

Observa con atención las siguientes imágenes:
Imagen de conjuntos
*Teoría de conjuntos. Créditos: Cuba Educa, portal educativo cubano
De forma intuitiva, cada una de las agrupaciones representa a un conjunto, ya que tiene al menos una característica en común. De esa forma, para cada una de las figuras, se tiene:
  • Figura 1: Todos los objetos son muebles.
  • Figura 2: Todos los objetos son libros.
  • Figura 3: Todas las personas son profesionales.
A cada una de estas agrupaciones de objetos (que pueden también ser abstractos) se les denomina como conjunto, colección o reunión.
Formalmente no existe la definición de conjunto, este es un concepto intuitivo que se relaciona con la noción de conjunto que todos tenemos por experiencia cotidiana.
A los objetos que componen un conjunto se les llama elementos o miembros del conjunto.

Notación de un conjunto

Para denotar a un conjunto se acostumbra a usar letras mayúsculas, mientras las minúsculas se usan para sus elementos. Veamos algunos ejemplos.
  • El conjunto de los días de la semana cuando hay clases en el colegio se puede denotar por “S”.
  • Para denotar a los elementos del conjunto “S”, se puede utilizar a: lunes, b: martes, c: miércoles, d: jueves y e: viernes.
Comúnmente al conjunto y a sus elementos se les denota utilizando signos de colección, como las llaves left parenthesis, left brace, right brace, right parenthesis. Veamos cómo se denota el conjunto S que representa los días de la semana cuando hay clases en el colegio.
S, equals, left brace, a, comma, b, comma, c, comma, d, comma, e, right brace
o también:
S, equals, left brace, start text, L, o, s, space, d, ı, with, \', on top, a, s, space, d, e, space, l, a, space, s, e, m, a, n, a, space, c, u, a, n, d, o, space, h, a, y, space, c, l, a, s, e, s, space, e, n, space, e, l, space, c, o, l, e, g, i, o, end text, right brace

Diagramas de Venn

Otra forma de representar a los conjuntos consiste en utilizar diagramas de Venn. Mostramos a continuación el conjunto S utilizando diagramas de Venn.
Diagrama de Venn para el conjunto S
Diagrama de Venn para el conjunto S
También se puede utilizar los diagramas de Venn para mostrar la relación entre varios conjuntos, veamos un caso:
Sean los conjuntos:
A={11,19,5,10}B={11,7,5,30}C={7,27,5,10}\begin{aligned} A&=\{11, 19, 5, 10 \} \\\\ B&=\{11, 7, 5, 30 \} \\\\ C&=\{7, 27, 5, 10 \} \end{aligned}
Los representamos utilizando diagramas de Venn:
Relación entre tres conjuntos
Diagrama de Venn para los conjuntos A, B y C.

Relación de pertenencia

La relación de pertenencia asocia a un elemento con su conjunto.
Si un elemento está en un conjunto, se dice que pertenece al conjunto y en este caso usamos el símbolo \in para mostrar esta relación.
Si un elemento no está en un conjunto, se dice que no pertenece al conjunto y en este caso usamos el símbolo para mostrar esta relación.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1
Para el conjunto, M, equals, left brace, 1, comma, 3, comma, 6, comma, 7, comma, 11, right brace, se tiene:
  • 1, \in, C, lo que se lee, "1 pertenece al conjunto M.
  • 9, ∉, C, lo que se lee, "9 no pertenece al conjunto M.
Ejemplo 2
Para el conjunto, Q, equals, left brace, left brace, 2, right brace, comma, square root of, 2, end square root, comma, left brace, 6, comma, 10, right brace, comma, 0, right brace, se tiene:
  • left brace, 2, right brace, \in, Q, lo que se lee, "left brace, 2, right brace pertenece al conjunto Q.
  • square root of, 2, end square root, \in, Q, lo que se lee, "square root of, 2, end square root pertenece al conjunto Q.
  • left brace, 0, right brace, ∉, Q, lo que se lee, "left brace, 0, right brace no pertenece al conjunto Q.
  • 6, ∉, Q, lo que se lee, "6 no pertenece al conjunto Q.

Determinación de un conjunto

Un conjunto se puede representar por extensión y por comprensión.

Conjunto por extensión

Cuando se menciona de forma explícita a todos los elementos del conjunto. Los elementos se escriben uno a continuación del otro separados por el símbolo de coma left parenthesis, comma, right parenthesis.

Veamos algunos ejemplos:

  • El conjunto de los números primos menores que 10.
    A, equals, left brace, 2, comma, 3, comma, 5, comma, 7, right brace
  • El conjunto de los vocales.
    B, equals, left brace, a, comma, e, comma, i, comma, o, comma, u, right brace
Ten en cuenta que el orden en el cual aparecen los elementos de un conjunto no afecta a la naturaleza del conjunto. Por ejemplo:
C, equals, left brace, a, comma, e, comma, i, comma, o, comma, u, right brace, equals, left brace, e, comma, u, comma, i, comma, a, comma, o, right brace

Conjunto por comprensión

Cuando se menciona de forma implícita a todos los elementos del conjunto. Se utiliza símbolos para representar una propiedad o característica común de los elementos del conjunto.
Ejemplificamos esta idea considerando los conjuntos mostrados anteriormente.
  • El conjunto de los números primos menores que 10.
    A, equals, left brace, x, slash, x, start text, e, s, space, u, n, space, n, u, with, \', on top, m, e, r, o, space, p, r, i, m, o, space, m, e, n, o, r, space, q, u, e, space, 10, end text, right brace
  • El conjunto de los vocales.
    B, equals, left brace, x, slash, x, start text, e, s, space, u, n, a, space, v, o, c, a, l, end text, right brace

Otro ejemplo

Se tiene los conjuntos
P={2x+3/1<x<5;xN}Q={x2/2x<1;xZ}\begin{aligned} P&=\{2x+3/ 1< x < 5; x\in \mathbb{N}\}\\\\ Q&=\{x^2/ -2\leq x < 1; x\in \mathbb{Z}\}\end{aligned}
Calcula la suma del menor elemento de P con el mayor elemento de Q.

Resolvemos la situación

Para el conjunto P:
Como x, \in, N, x debe ser igual a 2, ;, 3, ;, 4. Además, como los elementos del conjunto son de la forma 2, x, plus, 3, remplazamos para obtener cada uno de los elementos del conjunto P. Observa.
  • Para x, equals, 2, se tiene 2, left parenthesis, start color #df0030, 2, end color #df0030, right parenthesis, plus, 3, equals, 7.
  • Para x, equals, 3, se tiene 2, left parenthesis, start color #df0030, 3, end color #df0030, right parenthesis, plus, 3, equals, 9.
  • Para x, equals, 4, se tiene 2, left parenthesis, start color #df0030, 4, end color #df0030, right parenthesis, plus, 3, equals, 11.
Luego el menor elemento de P es 7.
Para el conjunto Q
Como x, \in, Z, x debe ser igual a minus, 2, ;, minus, 1, ;, 0. Además, como los elementos del conjunto son de la forma x, squared, remplazamos para obtener cada uno de los elementos del conjunto Q. Observa:
  • Para x, equals, minus, 2, se tiene left parenthesis, start color #df0030, minus, 2, end color #df0030, right parenthesis, squared, equals, 4.
  • Para x, equals, minus, 1, se tiene left parenthesis, start color #df0030, minus, 1, end color #df0030, right parenthesis, squared, equals, 1.
  • Para x, equals, 0, se tiene left parenthesis, start color #df0030, 0, end color #df0030, right parenthesis, squared, equals, 0.
Luego el mayor elemento de Q es 4.
Finalmente, la suma del menor elemento de P con el mayor elemento de Q es 7, plus, 4, equals, 11.

Comprueba tu comprensión

Ejercicio 1

Considera el conjunto:
A, equals, left brace, 0, comma, 3, comma, minus, 3, comma, 2, comma, 1, comma, left brace, 2, right brace, right brace
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
Escoge 1 respuesta:

Ejercicio 2

¿Cuál de los siguientes conjuntos está expresado por comprensión?
Escoge 1 respuesta:

Ejercicio 3

¿Cuál de los siguientes conjuntos está expresado por extensión?
Escoge 1 respuesta:

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