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Contenido principal

Relaciones y operaciones entre conjuntos (Leyes del álgebra de conjuntos)

Relaciones y operaciones entre conjuntos (leyes del álgebra de conjuntos)

Lo que necesitas saber para esta lección

Antes de iniciar esta lección, debes revisar la lección sobre operaciones básicas con conjuntos.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás algunas relaciones asociadas a las operaciones entre conjuntos (unión, intersección, complemento y diferencia).

Complemento de un conjunto

Vamos a iniciar esta lección estudiando la operación denominada complemento de un conjunto.
Ten en cuenta que esta operación tiene una notación muy particular. Por ejemplo, para denotar el complemento del conjunto A se escribirá Ac.

¿Qué quiere decir Ac?

El complemento de un conjunto A, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal (U), pero no al conjunto A.
Ahora, podemos utilizar símbolos para definir el complemento de A.
Ac={x/xUyxA}
También, se puede entender Ac como:
Ac=UA

Veamos algunos ejemplos

Para los siguientes conjuntos, considera como conjunto universal a U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
Ejemplo 1
Si A={2,4,6,8,10} se tiene que Ac={1,3,5,7,9}.
Ejemplo 2
Si B={1,3,5} se tiene que Bc={2,4,6,7,8,9,10}.
Ejemplo 3
Si C={4,6,7,8,9,10} se tiene que Cc={1,2,3,5}.

Diferencia de conjuntos

Vamos a continuar esta lección recordando la operación denominada Diferencia de conjuntos.
La diferencia entre dos conjuntos, por ejemplo, A y B, se denota así: AB.

¿Qué quiere decir AB?

Dados dos conjuntos A y B, se entiende al conjunto diferencia, denotado como AB, al conjunto de todos los elementos que están en A y no están en B.
Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Sean los conjuntos:
  • A={1,3,5,7}
  • B={2,3,4,5}
Se observa que los elementos que están en A, pero no están en B son 1 y 7. Por tanto, el conjunto diferencia es
AB={1,7}
Este nuevo conjunto se puede representar mediante diagramas de Venn. Observa:
Gráfico de la diferencia entre A y B
Si queremos obtener BA, tomamos los elementos de B que no están en A. Estos son 2 y 4. Entonces:
BA={2,4}
Este nuevo conjunto se puede representar mediante diagramas de Venn de la siguiente manera:
Gráfico de la difrencia entre B y A
Luego, podemos afirmar en este caso ABBA.

Propiedades de la diferencia de conjuntos

Al resolver situaciones relacionadas a diferencia de conjuntos, se establece las siguientes propiedades.
Sean los conjuntos A, B y C, se cumple:
AB=ABc(AB)C=(AC)(BC)A(BC)=(AB)(AC)
Estas y otras propiedades se aplicarán en la simplificación de operaciones entre conjuntos.

Leyes del álgebra de conjuntos

A continuación, mostramos algunas propiedades asociadas al álgebra de conjuntos:

Idempotencia

  • AA=A
  • AA=A

Conmutativa

  • AB=BA
  • AB=BA

Asociativa

  • (AB)C=A(BC)
  • (AB)C=A(BC)

Distributiva

A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)

Ley De Morgan

  • (AB)c=AcBc
  • (AB)c=AcBc

Ley de la diferencia simétrica

  • AB=(AB)(BA)
  • AB=(AB)(BA)

Del complemento

  • AAc=U
  • AAc=
  • (Ac)c=A
  • Uc=
  • c=U

De la absorción

  • A(AB)=A
  • A(AB)=A
  • A(AcB)=AB
  • A(AcB)=AB
A continuación, vamos a comprobar algunas de estas leyes, utilizando ejemplos.

Idempotencia

Vamos a comprobar la ley AA=A
Consideramos al conjunto A={3,7,11} para obtener AA, el cual se obtiene de la reunión de los elementos del conjunto A. Observa.
AA={3,7,11}{3,7,11}={3,7,11,3,7,11}={3,7,11}=A
Por tanto, AA=A.

Conmutativa

Vamos a comprobar la ley AB=BA
Sea A={m,n,p,r,t,s} y B={a,b,c,m,p}, por lo que AB se obtiene identificando los elementos comunes entre A y B. Observa.
AB={m,n,p,r,t,s}{a,b,c,m,p}={m;p}BA={a,b,c,m,p}{m,n,p,r,t,s}={m;p}
Por tanto, AB=BA.

Distributiva:

Vamos a comprobar la ley
A(BC)=(AB)(AC)
Para esto, vamos a considerar los siguientes conjuntos:
A={5,4,3,2,1}B={3,2,1,0,1,2,3}C={5,2,1,3,4}
  • Utilizamos diagramas de Venn para comprobar que:
A(BC)={5,4,3,2,1,3}
Primero obtenemos la intersección de B y C que es {3;2;1}. Luego, obtenemos la unión con A. De esa forma obtenemos {5,4,3,2,1,3}.
Observa el diagrama de Venn:
Gráfico del lado izquiero de la igualdad
  • Utilizamos diagramas de Venn para comprobar que:
A(BC)=(AB)(AC)
Primero obtenemos la unión de A y B, que nos da: {5,4,3,2,1,0,1,2,3}.
Lo mismo hacemos para obtener AC que nos da: {5,4,3,2,1,3,4}.
Finalmente, se obtiene la intersección de estos dos conjuntos resultantes, lo que nos da: {5,4,3,2,1,3}.
Observa el diagrama de Venn:
Gráfico del lado izquiero de la igualdad
De forma similar, podemos comprobar las otras leyes del álgebra de conjuntos.

Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 1
Simplificar la operación, haciendo uso del álgebra de conjuntos.
(ABC)c
Resolución
Vamos a aplicar la ley de Morgan,
(ABC)c=Ac(BC)c
Ahora, volvemos a aplicar la ley de Morgan para (BC)c.
(ABC)c=Ac(BC)c=AcBcCc
Por tanto, la expresión simplificada es AcBcCc, es decir:
(ABC)c=AcBcCc
Ejemplo 2
Comprueba la siguiente equivalencia:
(AC)B=ACBc
Resolución
La comprobación es directa si recordamos la propiedad de la diferencia:
XY=XYc
Veamos,
(AC)B=(AC)Bc=ACBc
Por tanto,
(AC)B=ACBc
Ejemplo 3
Comprueba la siguiente equivalencia:
(AB)(AC)=A(BC)
Resolución
Primero aplicamos la propiedad de la diferencia XY=XYc y luego la propiedad asociativa.
Veamos,
(AB)(AC)=(ABc)(ACc)=(AA)(BcCc)
Ahora, dado que AA=A y BcCc=(BC)c, tenemos:
(AB)(AC)=(AA)(BcCc)=A(BC)c
Finalmente, por la propiedad de la diferencia de conjuntos en su versión XYc=XY.
(AB)(AC)=A(BC)c=A(BC)
Por tanto,
(AB)(AC)=A(BC)
Ejemplo 4
Marcelo afirma que: (AB)(AB)=A
¿Es cierto lo que afirma Marcelo?
Resolución
Vamos a simplificar la expresión para verificar la validez de lo afirmado por Marcelo.
Recordamos la propiedad de la diferencia de conjuntos:
AB=ABc
y procedemos a simplificar:
(AB)(AB)=(AB)(ABc)
Ahora, si observamos con mucho cuidado, se desprende por la propiedad absorvente que
(AB)(ABc)=A(BBc)
Ahora bien, dado que BBc=U y AU=A,
se finaliza la resolución:
(AB)(ABc)=A(BBc)=AU=A
Es decir:
(AB)(AB)=A
Por tanto, lo que afirma Marcelo es cierto.

Compruebo mi comprensión

Situación 1
Juana afirma que se cumple la siguiente igualdad:
C(AB)=AcBcCc
¿Es cierto lo que afirma Juana?
Escoge 1 respuesta:

Situación 2
Simplifica la siguiente expresión:
A(BC)
Luego de simplificar, ¿cuál de las siguientes expresiones es posible obtener?
Escoge 1 respuesta:

Situación 3
Simplifica la siguiente expresión:
(AB)(ABc)(AcB)
Luego de simplificar, ¿cuál de las siguientes expresiones es posible obtener?
Escoge 1 respuesta:

Situación 4
Simplifica la siguiente expresión:
(A(BCc)c)((AcBc)C)c
Luego de simplificar, ¿cuál de las siguientes expresiones es posible obtener?
Escoge 1 respuesta:

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