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Aritmética - Preparación Educación Superior

Curso: Aritmética - Preparación Educación Superior > Unidad 1

Lección 3: Relaciones y operaciones entre conjuntos
Matemáticas
Aritmética - Preparación Educación Superior
Relaciones lógicas y conjuntos
Relaciones y operaciones entre conjuntos
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Relaciones y operaciones entre conjuntos (Igualdad de conjuntos)

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Relaciones y operaciones entre conjuntos (igualdad de conjuntos)

Lo que necesitas saber para esta lección

Antes de iniciar esta lección, debes revisar la lección sobre operaciones básicas con conjuntos.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás la relación de igualdad entre conjuntos y su aplicación en la resolución de problemas.

Situación de reflexión

Observa los siguientes conjuntos
  • A={x/xes un número primo entre 2 y 10}
  • B={3,5,7,3,5}
  • Conjunto C
    Gráfico del conjunto C
¿Se puede decir que los conjuntos A, B y C son iguales?
Como ya aprendiste en otra lección, un conjunto se puede representar de diversas formas. Sin embargo, para determinar la igualdad entre ellos, debemos fijarnos en las características de sus elementos.

Relación de igualdad entre conjuntos

Decimos que dos o más conjuntos son iguales si dichos conjuntos tienen los mismos elementos. Recuerda que para determinar la igualdad de conjuntos no importa el orden de sus elementos. Tampoco importa si los elementos están repetidos.
Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo

Si observamos con atención los siguientes conjuntos:
A={2k+1/7<k<13;k∈N}B={25,23,21,19,17,25,23,19}
Se puede afirmar que los conjuntos A y B son iguales.

Explicación

La regla de formación para los elementos del conjunto A es 2k+1.
Como k es un número natural entre 7 y 13, se tiene que k={8,9,10,11,12} Con estos valores de k obtenemos los elementos del conjunto A. Observa.
  • k=8⇒2(8)+1=17
  • k=9⇒2(9)+1=19
  • k=10⇒2(10)+1=21
  • k=11⇒2(11)+1=23
  • k=12⇒2(12)+1=25
Entonces, el conjunto A es:
A={17,19,21,23,25}
En el caso del conjunto B, se observa que hay elementos repetidos. Estos elementos se pueden escribir solo una vez, por lo que B queda así:
B={25,23,21,19,17}
Finalmente, comparando los elementos de los conjuntos A y B, se verifica que tienen los mismos elementos, a pesar que se encuentran en otro orden.
Es decir A=B.

Más ejemplos

A continuación mostramos algunos ejemplos que involucran situaciones más complejas sobre la igualdad de conjuntos.

Situación 1

Dados los conjuntos iguales, donde C,D∈N
C={3x+3y,2x+y+1,y2}D={16,29,48}
¿Cuál es el valor de x+y?

Explicación

Como nos dicen que C=D, entonces deben tener los mismo elementos. Si observamos atentamente los elementos del conjunto C, se tiene que y2=16, ya que y es un número natural y 16 es un cuadrado perfecto. Por tanto, y=4.
Conociendo el valor de y, reemplazamos y escribimos de otra forma el conjunto C.
C={3x+12,2x+5,16}
Podemos observar que 2x+5 es un número impar. En el conjunto D el único número impar es 29. Por tanto:
2x+5=29⇒x=12
Comprobamos con el tercer elemento del conjunto 3x+12=48 Efectivamente, x=12
De esa forma, tenemos el valor de x e y.
Luego, x+y=16.

Compruebo mi comprensión

Ejercicio 1

Considera el siguiente conjunto:
A={x+1/1<x<4;x∈N}
¿Cuál de los siguientes conjuntos es igual al conjunto A?
Escoge 1 respuesta:

Ejercicio 2

Los conjuntos P y Q son iguales, donde x,y∈N.
P={x2−1;x+y;4x+y+6}Q={8;5;20}
Calcule el valor de xy
Escoge 1 respuesta:

Problemas verbales que se resuelve con relaciones entre conjuntos

En este apartado, mostramos algunos problemas verbales que se resuelven utilizando algunas relaciones y operaciones entre conjuntos.

Situación 1

Joel hace cuentas y se percata que durante el mes de abril practicó fútbol o natación todos los días, descansando solo 3 domingos. Él recuerda que 14 días practicó fútbol y 15 días practicó natación. ¿Cuántos días practicó ambos deportes?

Situación 2

En una tienda de dulces hay 60 vasos de helado de distintos sabores. De esos, 15 son de chocolate; 20 son de vainilla, 10 de fresa. Además, se sabe que 12 son de chocolate con vainilla; 8 son de fresa con vainilla; 10 de chocolate y fresa; y 5 contienen los tres sabores. ¿Cuántos helados son exclusivamente de un solo sabor?

Situación 3

Se aplica una encuesta a 110 estudiantes universitarios sobre sus gustos musicales y se obtiene la siguiente información:
  • A 58 estudiantes les gusta la bachata.
  • A 72 estudiantes les gusta el merengue.
  • A 80 estudiantes les gusta la salsa.
  • A 10 estudiantes les gusta la bachata, el merengue y la salsa.
¿A cuántas de los estudiantes encuestados les gusta solo 2 géneros musicales?

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