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Aritmética - Preparación Educación Superior
Curso: Aritmética - Preparación Educación Superior > Unidad 1
Lección 3: Relaciones y operaciones entre conjuntos- Subconjunto, subconjunto propio y superconjunto
- Relaciones y operaciones entre conjuntos (Igualdad de conjuntos)
- Intersección y unión de conjuntos
- Resolución de problemas sobre relaciones y operaciones entre conjuntos
- Complemento relativo o diferencia entre conjuntos
- Conjunto universal y complemento absoluto
- Relaciones y operaciones entre conjuntos (Diferencia simétrica)
- Resolución de problemas sobre relaciones y operaciones entre conjuntos
- Juntar las operaciones de conjuntos
- Notación de conjuntos básica
- Relaciones y operaciones entre conjuntos (Leyes del álgebra de conjuntos)
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Relaciones y operaciones entre conjuntos (Diferencia simétrica)
Relaciones y operaciones entre conjuntos (Diferencia simétrica)
Lo que necesitas saber para esta lección
Antes de iniciar esta lección, debes revisar la lección sobre operaciones básicas con conjuntos
Lo que aprenderás en esta lección
En esta lección aprenderás la operación de diferencia simétrica entre conjuntos y su aplicación en la resolución de problemas.
Situación de reflexión
Observa los siguientes conjuntos:
¿Puedes reconocer los elementos NO comunes
entre los conjuntos y ?
Ahora, llamemos al conjunto que reúne a los elementos NO comunes tanto de como de .
A continuación, mostramos el diagrama de Venn con los elementos de este nuevo conjunto.
Diferencia simétrica entre conjuntos
Vamos a simbolizar algunas expresiones del apartado anterior:
- Los elementos que pertenecen a
pero no a : y . - Los elementos que pertenecen a
pero no a : y .
A continuación, podemos dar una definición más formal de la operación denominada diferencia simétrica:
Esto quiere decir:
La diferencia simétrica es el conjunto de elementos que solo pertenecen a o a pero no a ambos a la vez.
También se puede expresar esta operación mediante otras operaciones entre conjuntos.
Veamos algunos ejemplos
Ejemplo 1
Sean los conjuntos:
La diferencia simétrica de y es:
Ejemplo 2
Sean los conjuntos y , donde:
Conjunto de los cuadriláteros. Conjunto de los parelologramos.
Luego, la diferencia simétrica de y es:
: Conjunto de los cuadriláteros que no son paralelogramos.
Representación gráfica de la diferencia simétrica
Podemos usar los diagramas de Venn como una forma de representar la operación de diferencia simétrica. Por ejemplo:
Caso 1
Vamos a mostrar el resultado de la operación del ejemplo 1, es decir .
Caso 2
Sean los conjuntos:
Entonces
Cuya representación es la siguiente:
Caso 3
Sean los conjuntos:
Entonces:
Cuya representación es la siguiente:
Dos propiedades de la diferencia simétrica
Consideremos los siguientes conjuntos:
Se pueden realizar las siguientes operaciones:
Si analizamos con atención el resultado de estas operaciones, se observan dos propiedades relacionadas a la diferencia simétrica.
Propiedad 1
La diferencia simétrica es conmutativa, es decir
Observando los elementos de y , se afirma que son conjuntos iguales. De ahí que, no importa el orden de la operación entre conjuntos, en el caso es igual a .
Propiedad 2
Observando los elementos de y , se afirma que no tienen elementos en común (su intersección es el vacío, es decir, . Ahora, se obtiene reuniendo los elementos de y , lo que implica obtener .
Comprueba tu comprensión
Ejercicio 1
Sean los conjuntos:
¿Cuál de los siguientes conjuntos se obtiene de la operación ?
Ejercicio 2
Sean los conjuntos:
¿Cuál de los siguientes conjuntos pueden corresponder a ?
Ejercicio 3
Si y son conjuntos no vacíos que verifican , ¿cuál de los siguientes conjuntos pueden corresponder a y ?
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