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Aritmética - Preparación Educación Superior

Curso: Aritmética - Preparación Educación Superior > Unidad 1

Lección 3: Relaciones y operaciones entre conjuntos
Matemáticas
Aritmética - Preparación Educación Superior
Relaciones lógicas y conjuntos
Relaciones y operaciones entre conjuntos
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Relaciones y operaciones entre conjuntos (Diferencia simétrica)

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Relaciones y operaciones entre conjuntos (Diferencia simétrica)

Lo que necesitas saber para esta lección

Antes de iniciar esta lección, debes revisar la lección sobre operaciones básicas con conjuntos

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás la operación de diferencia simétrica entre conjuntos y su aplicación en la resolución de problemas.

Situación de reflexión

Observa los siguientes conjuntos:
Disjuntos
¿Puedes reconocer los elementos NO comunes entre los conjuntos A y B?
Ahora, llamemos A△B al conjunto que reúne a los elementos NO comunes tanto de A como de B.
A continuación, mostramos el diagrama de Venn con los elementos de este nuevo conjunto.
Diferencia simétrica de A y B
Diferencia simétrica de A y B.

Diferencia simétrica entre conjuntos

Vamos a simbolizar algunas expresiones del apartado anterior:
  • Los elementos que pertenecen a A pero no a B:
    x∈A y x∉B.
  • Los elementos que pertenecen a B pero no a A:
    x∈B y x∉A.
A continuación, podemos dar una definición más formal de la operación denominada diferencia simétrica:
A△B={x/(x∈Ayx∉B)o(x∈Byx∉A)}
Esto quiere decir:
La diferencia simétrica es el conjunto de elementos que solo pertenecen a A o a B pero no a ambos a la vez.
También se puede expresar esta operación mediante otras operaciones entre conjuntos.

Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 1

Sean los conjuntos:
P={a,e,i,o,u}Q={a,b,c,d,e}
La diferencia simétrica de P y Q es:
P△Q={i,o,u,b,c,d}

Ejemplo 2

Sean los conjuntos M y N, donde:
  • M: Conjunto de los cuadriláteros.
  • N: Conjunto de los parelologramos.
Luego, la diferencia simétrica de M y N es:
  • M△N: Conjunto de los cuadriláteros que no son paralelogramos.

Representación gráfica de la diferencia simétrica

Podemos usar los diagramas de Venn como una forma de representar la operación de diferencia simétrica. Por ejemplo:

Caso 1

Vamos a mostrar el resultado de la operación del ejemplo 1, es decir P△Q={i,o,u,b,c,d}.
Gráfico de la operación de diferencia simétrica entre P y Q
Gráfico de la operación de diferencia simétrica entre P y Q.

Caso 2

Sean los conjuntos:
I={2,4,6}V={x/x<8;x∈N}
Entonces
I△V={1,3,5,7}
Cuya representación es la siguiente:
Gráfico de la operación de diferencia simétrica entre V e I
Gráfico de la operación de diferencia simétrica entre V e I

Caso 3

Sean los conjuntos:
K={x/1<x<4;x∈N}L={x/x≥4;x∈N}
Entonces:
K△L={2,3,4,5…}
Cuya representación es la siguiente:
Gráfico de la operación de diferencia simétrica entre K y L
Como K y L son conjuntos disjuntos, su diferencia simétrica es la unión de ambos conjuntos.

Dos propiedades de la diferencia simétrica

Consideremos los siguientes conjuntos:
  • A={2,3,5,7,11}
  • B={1,3,5,7,9,11,13}
  • C={2,4,6,8,10,12}
Se pueden realizar las siguientes operaciones:
A△B={1,2,9,13}B△C={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}B△A={1,2,9,13}A△C={3,4,5,6,7,8,10,11,12}
Si analizamos con atención el resultado de estas operaciones, se observan dos propiedades relacionadas a la diferencia simétrica.

Propiedad 1

La diferencia simétrica es conmutativa, es decir A△B=B△A
Observando los elementos de A△B y B△A, se afirma que son conjuntos iguales. De ahí que, no importa el orden de la operación entre conjuntos, en el caso A△B es igual a B△A.

Propiedad 2

B△C=B∪C si y solo si B∩C=∅
Observando los elementos de B y C, se afirma que no tienen elementos en común (su intersección es el vacío, es decir, B∩C=∅. Ahora, B△C se obtiene reuniendo los elementos de B y C, lo que implica obtener B∪C.

Comprueba tu comprensión

Ejercicio 1

Sean los conjuntos:
A={1,3,6,7,9}B={2,3,5,7,9}
¿Cuál de los siguientes conjuntos se obtiene de la operación A△B?
Escoge 1 respuesta:

Ejercicio 2

Sean los conjuntos:
C={−4,−2,2,1,3}D={−2,2,1}
¿Cuál de los siguientes conjuntos pueden corresponder a C△D ?
Escoge 1 respuesta:

Ejercicio 3

Si P y Q son conjuntos no vacíos que verifican P△Q=P∪Q, ¿cuál de los siguientes conjuntos pueden corresponder a P y Q?
Escoge 1 respuesta:

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