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Contenido principal
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Transcripción del video

en el último vídeo nos preguntábamos acerca de la suma de todos los factores de 27.000 y bueno lo que quiero hacer en este vídeo es retomar este asunto analizarlo con más calma y ver cómo llegamos al resultado ahora bien lo que sí quiero que te acuerdes es que en el vídeo pasado tomamos el 27.000 y lo descompusimos en números primos y los números primos que no salieron fue 3 a la 3 2 a la 3 y 5 a la 3 3 al cubo por 2 al jugo por 5 al cubo esto es lo mismo que 27.000 y bueno esto era bastante importante porque justo esto nos está diciendo que todos los divisores de 27.000 tienen como factores potencias del 3 del 2 y del 5 es decir todos los factores de 27.000 los podemos ver de la siguiente forma como 3 a la equis por 2 al aiem por 5 a la zeta donde vamos a decir que las potencias x y z son potencias que son enteras y además existen entre 0 y 3 es decir pueden ser 0 1 2 ó 3 cualquier combinación de estas potencias nos tomemos al aplicarlas a esta función de factores nos van a dar factores de 27.000 y no hay más todos los factores de 27.000 se tienen que ver de esta manera por ejemplo si no me quiero tomar el 7 el 7 no es factor de 20.000 porque no se puede escribir de esta manera y si yo me tomo por ejemplo el 3 hará cero por 2 al cuadrado por 5 1 esto como 7 la forma de los factores de 27.000 entonces va a dividir a 27.000 esto cuánto me dan 3 el acero es 12 al cuadrados 45 a la 1 es 5 y 4 por 5 es 20 entonces 20 va a dividir a 27.000 y la división es exacta entonces todos los factores de 27.000 son de esta forma 13 la equis por 2 al ayer por 5 a la zeta ahora bien lo que hicimos también en el vídeo pasado fue intentar hacer una tabla y en esta tabla empezamos a aplicar no solamente en las potencias del 3 y del 2 es decir 30 31 32 33 20 21 22 y 23 es decir en 13 927 y 1 4 4 2 y 8 estas son las potencias que nos tomamos y suponemos que la potencia que nos íbamos a tomar del 5 era 50 y es que entonces con todas estas potencias y vamos a crear una tabla de todas las posibles combinaciones de la multiplicación de estos date cuenta que cualquier combinación de la multiplicación de estos es un divisor de 27.000 y pues bueno si empezamos esta tabla que nos quedan 1 por 111 por 3 3 1 por 1 de 9 1 por mil 727 todos estos son factores de 27.000 y si ahora yo multiplico el 2 por cada uno de estos 2 por 1 2 2 por 3 6 2 por 9 18 y 297 54 también todos estos son factores de 27.000 y de igual manera si yo hiciera lo mismo con el 4 y con el 8 sin embargo a dijimos que no había necesidad de hacer esto porque recuerda que nosotros nos queremos fijar en la suma de todos estos factores no en quiénes son todos estos factores y bueno si no sumamos la suma del primer renglón esto no queda 13 927 lo cual nos evitó ha pasado que era 40 sin embargo aquí es donde empieza lo distinto el vídeo pasado quiero que te des cuenta que esto es lo mismo nuestra primera potencia del 2 que multiplica a todos estos ahora bien si quisiéramos tomar la suma de la segunda columna tendríamos la segunda potencia del 2 que es 2 a la 1 es decir 2 que multiplica a 13 927 ojo date cuenta que la segunda columna la obtuvimos multiplicando la primera columna por 2 2 por 1 2 2 por 3 6 2 por 9 18 2 por 27 54 por lo tanto la tercera columna saldría de multiplicar el 4 por la primera columna y cuando me tomo la suma me quedaría 4 que multiplica a 13 más 9 27 sacándolo como factor común y de igual manera para la última columna sería 8 que multiplica a 13 + 9 más 27 sacándolo como factor común y esto es porque si nosotros quisiéramos sacar la cuarta columna habría que multiplicar a 8 por la primera columna y bueno date cuenta que esta es la suma de todos los factores de 27.000 que tienen que ver con 5 elevado a la potencia cero porque aquí no pusimos ninguna multiplicación por 5 elevado a ninguna potencia es decir no estamos tomando 5 elevado a la potencia 0 pero aquí hay algo padrísimo porque 13 + 9 más 27 es un factor común por lo tanto lo puedo sacar y me queda 139 más 27 que multiplica a su vez a uno más dos más cuatro más ocho es decir la suma de las potencias de 3 está suma que tengo aquí está multiplicando a su vez a la suma de las potencias de 2 y si nosotros distribuimos esto que tengo aquí llegaríamos a esa presión que tengo justo aquí arriba por lo tanto ahorita que sacamos nuestro factor común todo va bien y ojo vuelvo a decirlo ahorita solamente lo estamos fijando en los divisores de 27.000 que tienen que ver con las potencias del 2 y del 3 es decir estamos variando a x james gaceta lo estamos dejando igual a 0 y ya con esto obtenemos esta suma que tenemos aquí ahora bien hasta aquí va todo genial pero en el vídeo pasado además adelantamos un poco más porque dijimos esta suma que tenemos aquí representa a cuando nosotros tomamos el 5 elevado a la 0 es decir 5 elevado a la primera potencia que es la suma de todo esto que acabo de calcular ahora si yo quisiera tomarme la suma de todo esto mismo pero con 5 elevado a la primera potencia pues tendrá que multiplicar esta misma suma por 5 y si yo quería hacer lo mismo para el 5 elevado a la segunda potencia pues entonces tendré que tomarme esta suma y multiplicarlo por 5 elevado al cuadrado y se asigna que se a tomarme todos esos unos datos pero por 5 elevado al cubo pues tendrá que tomarme todo esto y multiplicarlo por 5 elevado al cubo por lo tanto vamos a escribirlo para hacer las cosas mucho más simples voy a decir que todo esto esa entonces para sacar la suma total tendría que multiplicar por 15 elevado la potencia cero y esto sumarle a que multiplica a 5 elevado la primera potencia y después a esto sumarle a que multiplica 5 elevado a la segunda potencia que es 25 y para al finalizar a todo esto es marley a que multiplica a 5 elevado a la tercera potencia es decir aaa por 125 y ésta va a ser la suma total de todos los factores de 27.000 y bueno si de aquí factor izamos a me queda que a multiplicar tanto a uno como a 5,25 125 y eso tiene toda la lógica del mundo y si ahora en lugar de poner a am pongo la expresión que tenemos aquí arriba que me va a quedar que esto es lo mismo que 13 + 9 + 27 13 + 9 27 no es el mismo color de verde pero bueno el sentido lo tienen y esto lo vamos a multiplicar por 12 4 + 8 que esto tenía que ver con las potencias de 2 y después a esto lo vamos a multiplicar por 15 más 25 y 125 y ésta va a ser mi suma total de todos los factores de 27.000 es decir me voy a tomar la suma de todas las potencias de 3 después voy a tomar toda la suma de todas las potencias de 2 después voy a tomar toda la suma de todas las potencias de 5 y las voy a multiplicar y esto lo podemos ver en un caso mucho más general si nosotros tenemos cualquier número y hacemos su descomposición en primos entonces para saber la suma de todos los factores lo que hay que hacer es primero tomarme la suma de todas las potencias del primer primo después la suma de todas las potencias del segundo primo y así sucesivamente y después multiplicar todos estos resultados en este caso nuestros primos serán 2 3 y 5 y las potencias varían entre 0 y 3 pero no pueden ser forzosamente lo mismo sin embargo ya está ya tenemos una nueva fórmula y vamos a ver cuántos estos 13 más 9 +27 dijimos en el vídeo pasado que da 40 aquí tengo 2 + 8 son 10 más 4 + 1 son 15 perfecto y por último tengo 25 más 125 150 156 es decir la suma de todos mis divisores de 27.000 es 40 por 15 por 156 y es más ya que tenemos esto de una vez vamos a calcular lo 40 por 15 es lo mismo que 20 por 30 que son 600 de estos dos salen 600 así que dejaron ponerlo aquí de estos dos van 600 y después hay que multiplicarlo por 156 cuánto es 600 por 156 pues voy a multiplicar 156 por 6 y después de agregó 20 6 por 6 36 llevamos 36 por 5 33 son 33 y llevamos 3 otra vez 6 por unas 63 son 9 y si después agregamos dos ceros porque teníamos 600 aquí hay que agregar dos ceros y llegamos al mismo resultado que la vez pasada 93.600 aunque tal vez no hice la demostración con la mayor exactitud lo que quiero que veas es que la idea en tuitiva ya la tenemos si tenemos cualquier número entonces ya podemos encontrar de una manera mucho más rápida la suma de todos sus factores así que para que esto quede mucho más claro y para entender todo mucho mejor vamos a hacer un ejemplo para finalizar este vídeo quiero tomar la suma de todos los factores de 300 así que lo primero que hay que hacer es descomponer a 300 en factores primos y 300 es el mismo que 3 por 100 si es lo mismo que des por 10 y 10 es lo mismo que 2 por 5 y 2 por 5 del otro 10 entonces 3 y entonces lo mismo que 3 por 2 al cuadrado por 5 al cuadrado esta es la descomposición en primos de 300 ahora bien ya que la tenemos para sacar la suma de todos los factores de este número de 300 lo que hay que hacer es tomarme la suma de todas las posibles potencias de 3 que es 13 pues 3 el acero es uno más 3 el a 1 que es 3 y no hay más ya no en las potencias de 3 porque hasta ahí ya estoy multiplicarlo por la suma de todas las potencias que tenemos del 2 es decir 1 + 2 más 2 al cuadrado que es 4 y ya no hay más y después a esto multiplicarlo por la suma de todas las potencias de 5 es decir 15 más 5 al cuadrado que es 25 y ya no se pueden las potencias porque hasta aquí llega la potencia del 5 la potencia más grande del 5 es 2 y por lo tanto tenemos que parar el 5 al cuadrado y bueno cuántos estos tres más unos 4 124 es 7 y después 15 25 es 31 7 por 4 28 por 31 cuando es 28 por 31 y me quedan 28 por unos 28 ponemos un cero aquí tres por 824 y llevamos 23 por 26 más 2 son ocho y ahora vamos a sumar si pongo lo hecho aquí me queda 86 8 es decir la suma de todos los factores de 300 es 868 espero lo hayas encontrado bastante útil