El porqué de la regla de divisibilidad entre 3

vas caminando por la calle y de pronto alguien te aborda y te dice es necesito tu ayuda por favor esto es urgente necesito saber si 4792 es un número divisible entre 3 y como tú conoces una técnica para saber si un número es divisible entre 3 recuerdas que solo basta sumar los dígitos de este número y si el número que obtenemos es divisible entre 3 entonces este número es divisible entre 3 por lo que haces 4 + 7 + 9 + 2 y esto es igual a 4 7 11 9 20 + 2 22 pero 22 no parece ser un número de hecho no es un número divisible entre 3 y para comprobarlo recuerdas que también si tuvieras dudas puedes sumar los dígitos de lo que obtuviste ósea + 2 que son los dígitos del 22 2 más 2 es igual a 4 y definitivamente este número no es divisible entre 3 pero cumpliste tu tarea has ayudado a esta persona sigues caminando muy tranquilo por la calle y de pronto otra persona taborda y te dice hey necesito tu ayuda estoy en una gran emergencia y necesito saber si el número 386 1802 es un número divisible entre 3 pero otra vez aplica esta idea que tú ya conoces que es sumar todos los dígitos de este número y si el resultado es un número que es divisible entre 3 entonces este número es un número divisible entre 3 y ahí vamos entonces hay que hacer 3 más 8 más 6 más 8 + 0 + 2 en que esto va que será igual bueno 3 más 8 son 11 las 6 17 más 8 25 más 2 27 definitivamente el 27 es un número divisible entre 3 y para despejar cualquier duda y comprobar el resultado recuerda que también podemos sumar los 2 dígitos del número que obtuvimos y si este número es divisible entre 3 bueno se sigue aplicando la misma regla o sea que 2 + 7 los dígitos de 27 es igual a 9 y definitivamente estamos en un número que es divisible entre 3 así que 386 1802 es divisible entre 3 y una vez más ayudaste a una persona para salvarlo de esta gran emergencia en la que se encontraba mientras sigues caminando te viene a la mente la duda porque será que este método que yo conozco para la divisibilidad entre 3 funciona así que se te ocurre lo siguiente pueden tomar un número al azar son por ejemplo el 498 y antes de aplicar la técnica que hemos estado describiendo y vamos a trabajar las cosas ahora de una manera diferente es decir voy a tomar los números por sus posiciones o sea el 4 que está en la posición de las centenas y lo voy a reescribir digamos el cuarto es 4 % pero yo no quiero reescribir de una manera particular o sea que sea 4 que está haciendo x 1 + 99 estarás de acuerdo que 199 es 100 y por 4 400 y es exactamente 4 en la posición de las centenas después vamos a tomar al 9 que está en las decenas y lo vamos a reescribir como 9 por 10 pero el día esto voy a escribir como uno más 99 más uno son 10 por 9 son 90 y es lo que tenemos aquí en un 9 en la posición de las decenas y finalmente pues el 8 no le podemos hacer muchas cosas porque está en las unidades simplemente lo reescribimos voy a tratar de reorganizar aquí un poco mi espacio de trabajo y voy a amor sí sí sí es posible vamos a mover tanto es perfecto ya estamos ya estamos listos entonces ahora el asunto que queremos hacer ahora es distribuir es decir en primero voy a trabajar con este término que está aquí y voy a distribuir el 4 que está multiplicando al 1 y el 4 que está multiplicando al 99 o sea esto va a ser igual a 44 por unos 4 + 4 que multiplica a 99 el siguiente que voy a trabajar es este 9 lo voy a distribuir el 9 por 1 y el 9 por 9 9 por 13 9 + 9 x de acuerdo y obviamente nuestro amigo el 8 pues pasa intacto de este lado ahora lo siguiente que voy a hacer es reagrupar los términos que tengo en toda esta expresión entonces a ver vamos a seleccionar un color que no hemos usado por ejemplo el verde entonces los que yo quiero reagrupar son este término que está aquí y este término que está aquí entonces ahora los voy a poner como 4 por 99 observa que cambien la anotación pero estamos hablando de productos y es lo mismo nada más es diferente notación más 9 que está haciendo x 9 entonces ya tengo este y este y ahora regreso con los que ella tenía no entonces está el 41 esto es lo mismo que sumarle 4 ahora vamos con este 9 más 9 y el 8 de las unidades más 8 entonces lo siguiente que ahora vamos a estamos analizando esta forma de trabajar identificar es lo siguiente entonces analicemos este término que está aquí entonces el 99 definitivamente es un número divisible en t3 y independientemente porque el número yo lo multiplique el resultado de esa multiplicación va a ser divisible en t3 o sea que esto es divisible entre 3 luego este término que tengo de este lado también es divisible entre 3 porque lo estoy multiplicando por 9 de acuerdo entonces no importa el que esté de este lado el resultado el producto de esta operación va a ser divisible entre 3 así que todo lo que yo tengo de este lado es divisible entre 3 esto es divisible entre 3 muy bien ahora sólo tengo que pensar y trabajar con lo que resta los términos de este lado es decir que la suma de estos términos sea un número divisible entre 3 lo que tenemos que encontrar es que la suma de los términos que están de este lado sea algo divisible entre 3 o sea lo importante es que esto tiene que ser divisible entre 3 y con esto hemos terminado