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Contenido principal
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Transcripción del video

vamos a decir que ese subíndice ca desde caa1 hasta 100 denota la serie infinita de la sucesión geométrica cuyo primer término es caminos uno entre k factorial y la razón común es de 1 sobre k entonces el valor de 100 al cuadrado entre 100 factorial más la suma desde acá igual a 1 hasta 100 de esta expresión que tengo aquí del valor absoluto de cuadrada menos 3 camas 1 todo esto multiplicado por ese subíndice que es y bueno lo primero que vamos a hacer para responder esta pregunta tan grande que tenemos aquí es encontrar a quien se refiere ese subíndice k ese subíndice k tiene como primer término acá menos 1 entrega factorial y después a este primer término lo vamos a multiplicar por la razón primero la razón elevado a la potencia 0 después la razón elevado a la potencia 1 después la razón elevado a la potencia 2 etcétera etcétera etcétera y como es una serie entonces nos tomamos la suma de todos estos y es una serie entonces no acabamos ahora lo que quiero que veas y esto ya lo he visto en varios vídeos es como encontramos una fórmula explícita para saber cuánto vale una serie como ésta yo lo que voy es como encontramos una fórmula para encontrar este tipo de series ahora aquí tenemos un camino es uno entre k factorial entonces por ahorita vamos a quitar lo íbamos a tomar no solamente la serie que nos queda que por cierto le voy a llamar s voy a decir que ese es uno entre cada 0 + 1 entre k elevado en la primera potencia más uno entre cada elevado al cuadrado más y así hasta el infinito y ahora qué pasa si yo multiplico uno entre cada por ese pues me quedaría aquí tendría uno entre cada cero por uno entre camps quedaría uno entre acá a la nueva potencia y después éste uno entre acá a la primera potencia x uno entra acá me quedaría uno entre cada elevado al cuadrado y así no puedo seguir y seguir y seguir y si ahora me tomo la diferencia de estos dos entonces al restar yo esté menos éste me va a quedar uno menos uno entre camps esto que multiplica a su vez a ese lo que estoy haciendo es factor izando a ésta y esto va a ser igual y date cuenta que estos van a tener signo negativo por lo tanto este con este se cancela este cuando se cancela todos se cancelan solamente me queda uno entre cada elevado a la 0 pero uno entre ca elevado a cero es uno por lo tanto ya la hice porque el equipo de despejar a ese ese va a ser igual a 1 entre 1 - 1 entre k muy bien y ahora que ya tengo un valor para ese entonces ya puedo sustituir a esta s que era mi serie que tengo aquí multiplicando la por caminos uno entre k factorial caminos uno entre k factorial por s pero ese vale 1 entre 1 - k y esto de una vez lo puedo simplificar se multiplicó a todo porque se multiplicó todo porque entonces en la parte de arriba me va a quedar acá y en la parte de abajo me va a quedar acá menos cada entrega lo cual es que al menos uno perfecto entonces esto lo voy a escribir aquí acá entre acá menos uno queda ni más ni menos que ese y date cuenta que quiero empezar a explicar cosas este con esta se va entonces esto me queda cam / caf actor y'all y como puedo escribir acá factorial bueno no voy a poner aquí esto lo mismo que acá k factorial pero k factorial es lo mismo que acá porque al menos uno por cada menos 2 x etcétera etcétera entonces déjame ponerlo cada que multiplica acá menos 1 que a su vez multiplica menos 2 que a su vez multiplica todos los demás hasta llegar a 1 hasta llegar a 1 porque está acá y está acá se cancelan entonces esto lo puede simplificar como uno entre cada menos uno porque al menos dos porque a menos 3 etcétera etcétera hasta 1 locales cada menos 1 factorial acá menos 1 factorial entonces toda esta expresión la puedo simplificar como uno entre caminos 1 factorial y bueno si por ejemplo quisiéramos sacar el primer término es decir ese subíndice 1 que me quedaría pues este subíndice 1 es sustituir cada por uno y aquí me quedaría uno menos uno lo cual es 0 0 factorial y bueno para no meternos en estos problemas mejor lo voy a ver desde acá 1 1 0 0 entre lo que sea es cero y cero por lo que sea pues es cero aunque aquí se simplificó y las cosas se cambiaron aquí te da cero desde un principio 1 - 1 0 y ya todo lo demás no me importa porque cero entre lo que sea es cero y cero por lo que sea de cero por lo tanto ese subíndice uno es cero y qué pasa con ese subíndice dos es decir cuando acá vale dos si sustituimos cuando acá vale dos a ver en esta expresión que obtendría 1 entre 2 - un nuevo factor ya les decir 1 entre una factoría lo cual es uno y bueno así me puede seguir con este subíndice 3 este subíndice 4 pero tengo 100 términos entonces creo que no es la mejor opción pero al menos ya sacamos 2 los primeros valores para ese subíndice acá y entonces si yo sustituyera aquí el valor de este subíndice acá cuando acá vale 1 entonces no quedaría 0 por lo que sea lo cual sería 0 y ahora si sustituyó cuando acá vale 2 entonces no quedaría este subíndice 2 lo cual es 1 y 1 por lo que sea pues bueno dicho esto ahorita justo es lo que voy a hacer entonces mejor antes de meterme en ningún problema déjame ponértelo aquí es que yo quiero separar poco a poco los términos aquí me quedaría uno y después acá me quedaría puestos al cuadrado lo cual es 4 - 3 por 2 lo cuales 6 a esto a sumar 14 menos 61 es menos 1 y menos 1 por unos buenos 1 pero con el valor absoluto me quedaría 1 positivo es decir que ya toda esta expresión la posibilitar un poquito más en lugar de estar tomándome desde acá igual a 1 hasta 100 mejor lo voy a tomar desde acá igual a 3 hasta 100 y ya al menos el resultado cuando acá vale 1 y cuando acaba de 2 cuando acá vale 1 mi resultado 0 cuando acaba de 2000 resulta 21 y después no voy a tomar la suma de todos estos términos es decir desde acá da igual a 3 hasta 100 de esta expresión que tengo aquí del valor absoluto de todo lo que está dentro de este paréntesis pero ahora lo que quiero es reducir lo más que se pueda lo que está dentro de este paréntesis porque date cuenta que este subíndice que como ya vimos es uno entre caminos 1 factorial y esto no nos sirve bastante para hacer esta suma por lo tanto vamos a ver si podemos simplificar un poco utilizando que en la parte de abajo es decir en mi denominador me queda acá menos 1 factorial y bueno ahora fijémonos en nuestra parte de arriba si te das cuenta esta expresión cada 4 - tres camas uno no está nada fácil de factorizar esa era mi primera impresión sin embargo tengo una segunda impresión mi segunda impresión dice que tal vez esto lo podamos reducir un poco busquemos algo de la forma que al menos uno o que al menos algo y de ahí vamos a poder factorizar al menos un poquito más esta expresión y es que casi siempre que tengo estas expresiones yo por intuición y por mucha práctica me doy cuenta que este tipo de expresiones matemáticas nos dan un comportamiento oscilatorio oa su dado caso nos dan términos que se eliminan muchas veces cuando tenemos algo así pasan cosas como la que te voy a poner aquí abajo hay veces que esta expresión nos da términos como los siguientes 12 menos 2 más 3 menos 3 y así se sigue y sigue y se sigue y si te das cuenta todos los términos de medios se van cancelando el uno con el otro y solamente me quedo con el primer término y con el término final pero bueno vamos a ver si puedo expresar de una manera distinta acá cuadrada menos tres acá más uno y fíjate que acá cuadrada menos tres camas uno esto lo puedo escribir como está cuadrada menos 2 1 - que dejemos ponerlo aquí está cuadrada menos 2,1 menos camps y bueno menos 2 k menos acá es lo mismo que menos 3 camps pero lo estoy poniendo así porque date cuenta que esta parte de aquí acá cuadrada menos dos más uno es un enorme cuadrado perfecto es k menos uno al cuadrado entonces esto ya se ve un poquito más bonito si yo lo pongo como caminos no al cuadrado menos acá así que déjame ponerlo aquí esta es la parte de arriba de mi expresión de esta suma es decir esto es mi numerador acá -1 cuadrado menos acá y ahorita voy a intentar simplificarlo un poco más entonces ya lo pongo aquí déjame bajar la pantalla y bueno basta recordar que no hay que olvidar que al principio tenemos un extiende al cuadrado entre siempre actoral pero bueno eso lo hacemos al final ahorita no hay que preocuparnos mucho por eso nos quedan uno más la suma desde acá igual a 3 hasta 100 del valor absoluto de esta expresión que tengo aquí pero esta expresión que tengo aquí la voy a separar la voy a separar como caminos 1 al cuadrado entre caminos 1 factorial menos acá entre carmen osuna factorial es decir que me voy a tomar la división de cada una de estas partes tendría camino al cuadrado entre caminos 1 esto factorial y después por otra parte voy a tener menos camps entre k menos 1 factorial pero ahora quiero que te des cuenta de lo siguiente cada menos 1 al cuadrado y aquí tengo acá menos 1 factorial que a menos 1 cuadrado es caminos 1 porque al menos no esperes vélez veces pero porque quiero realmente ver otra cosita más bien quiero ver caminos una factorial caminos una factoriales caminos uno por caminos 2 porque a menos 3 así hasta 1 y ahora si tengo que a menos 1 al cuadrado ya que abajo tengo que a menos 1 por caminos 2 por el 7 de este tramo estos dos se pueden ir se puede ir el cuadrado con uno de estos y solamente me va a quedar acá menos uno entre cada menos dos porque a menos tres porque menos cuatro etcétera etcétera lo cual es k menos dos factorial entonces en la parte de abajo me quedaría caminos más factorial y en la parte de arriba ya lo simplifica un poquito es caminos uno a secas y bueno a esto hay que quitarle menos acá entre caminos 1 factorial y ahora lo que quiero que veas y que tal vez no está tan fácil de ver es que esto que está aquí adentro siempre es positivo y para esto mejor vamos a verlo con ejemplos concretos qué te parece si vamos variando la cab para ver qué es lo que nos queda es decir voy a tener uno más y ahora voy a sustituir acá por tres acá por cuatro y bueno hacerlo a mano no es la mejor opción pero tal vez encontremos ya el patrón que yo quiero cuando acabas de tres aquí me quedaría 3 -1 locales 2 entre 3 - 2 lo cuales 11 factorial ya esto lo voy a quitar 3 entre 2 factoriales 3 entre 2 factorial acá menos 13 menos uno los cuales 22 factoriales ya esto le sumaríamos qué pasa cuando acaba l 4 vamos a ver si encontramos un patrón cuando acá vale 4 me quedaría 3 entre 2 factorial ya es donde tengo que quitar cuatro menos tres factoriales date cuenta que se empieza a cumplir un patrón a ver qué pasa cuando acá vale 5 cuando acá vale 5 entonces no quedaría pues 5 - 1 lo cual es 4 entre 3 factoriales ya esto le voy a quitar 5 menos 4 factorial 54 factorial y bueno así me puedo seguir y seguir y seguir y me tomaría la suma de todos estos hasta llegar al término ciento vamos a ver si podemos escribir el término ciento si yo llegara a que acá vale siete entonces que obtendrían cuando acá vale 100 me quedaría pues 99 entre 98 factorial 99 entre 98 factorial ya esto le quitaría 100 entre 99 factorial y bueno ahora lo que quiero que te des cuenta a espera espera no hay que olvidar el 1 recuerda que que aquí en un principio tenemos este 1 entonces no quedaría uno más todo esto ahora fíjate bien en esta expresión si te das cuenta éste lo tenemos negativo aquí positivo y negativo aquí positivo y entonces los podríamos eliminar pero justo en ese momento más decir oye sal pero qué pasa con el valor absoluto no podemos quitar el valor absoluto de la nada pero lo que quiero que te des cuenta es que este término el negativo siempre es menor que este término positivo aquí tendría por ejemplo 2 tres medios y lo cual lo cual me da un número positivo es justo lo más importante de todo este problema darte cuenta que esta expresión de aquí siempre va a ser menor que esta expresión de acá es decir lo negativo es más chico que lo positivo y por lo tanto siempre me van a dar valores positivos aquí tendría 4 entre 3 factorial lo cuales 4 sextos es decir dos tercios y por otra parte tengo tres medios en el otro tengo lo mismo y si esto es positivo si esto es positivo y esto es positivo y todo es positivo entonces yo podría quitar el valor absoluto porque el valor absoluto de algo positivo pues siempre es positivo entonces esto se podría quitar esto se puede quitar esto se podría quitar y qué creés ya aquí se ve claramente el patrón al de que es lo que voy a cancelar quitando el valor absoluto ahora si tengo puros valores iguales alternados uno negativo uno positivo uno negativo uno positivo date cuenta que este y éste se eliminan porque aquí lo tengo positivo y aquí lo tengo negativo se van este y éste se eliminan este y éste se eliminan entonces como te decía todos se van a empezar a eliminar hasta este esto también se va a eliminar y solamente me va a quedar 2 entre 1 factorial menos 100 entre 99 factoriales 1 + 2 entre 1 factorial lo cuales 2 ya esto le voy a quitar 100 entre 99 factorial 100 entre 99 factorial y bueno no había que olvidar por aquí un 100 al cuadrado entre 100 factorial este que está aquí el principio pero sin al cuadrado entre 100 factorial es lo mismo que 100% y abajo me quedaría 100 por 99 por 98 por así así hasta llegar al 1 y bueno aquí un 100 con un 100 se puede ir y me quedaría 100 entre 99 factoriales entonces vamos a sumar a esta expresión que tengo aquí abajo esta expresión de aquí que siento entre 99 factorial entonces vamos a sumar 100 entre 99 factorial y que buena suerte para nosotros porque entonces este y éste se van y solamente me queda 1 + 2 lo cual es text la respuesta de este problema tan raro que teníamos aquí es 3 y date cuenta que lo más importante de este problema fue encontrar una expresión equivalente para el numerador y además darnos cuenta que lo que estaba dentro del valor absoluto era positivo nuestra respuesta es 3