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Contenido principal

Introducción a las fórmulas de sucesiones aritméticas

Familiarízate con los fundamentos de las fórmulas explícitas y recursivas de sucesiones aritméticas.
Antes de continuar con esta lección, asegúrate de que sabes los fundamentos de las sucesiones aritméticas, y que tienes algo de experiencia con la evaluación de funciones y el dominio de la función.

¿Qué es una fórmula?

Estamos acostumbrados a describir sucesiones aritméticas de esta manera:
3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
Pero hay otras formas. En esta lección vamos a aprender dos nuevas maneras de representar sucesiones aritméticas: fórmulas recursivas y fórmulas explícitas. Las fórmulas nos dan instrucciones de cómo encontrar cualquier término de una sucesión.
En términos generales, las fórmulas utilizan n para representar cualquier número de término y a, left parenthesis, n, right parenthesis para representar el n, start superscript, start text, p, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript término de la sucesión. Por ejemplo, aquí están algunos de los primeros términos de la sucesión aritmética 3, 5, 7, ...
na, left parenthesis, n, right parenthesis
(El número de término)(El n, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript término)
13
25
37
Antes mencionamos que las fórmulas nos dan instrucciones para encontrar cualquier término de una sucesión. Ahora podemos reformular esto como sigue: las fórmulas nos dicen cómo encontrar a, left parenthesis, n, right parenthesis para cualquier posible n.

Comprueba tu comprensión

1) Encuentra a, left parenthesis, 4, right parenthesis en la sucesión 3, 5, 7, ...
a, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Para cualquier número de término n, ¿qué representa a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:
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Fórmulas recursivas de sucesiones aritméticas

Las fórmulas recursivas nos dan la siguiente información:
  1. El primer término de una sucesión.
  2. La regla del patrón para obtener cualquier término en una sucesión a partir del término que lo precede.
Esta es la fórmula recursiva de nuestra sucesión 3, 5, 7, ... junto con la interpretación de cada parte.
{a(1)=3el primer teˊmino es tresa(n)=a(n1)+2suma dos al teˊrmino anterior\begin{cases}a(1) = 3&\leftarrow\gray{\text{el primer témino es tres}}\\\\ a(n) = a(n-1)+2&\leftarrow\gray{\text{suma dos al término anterior}} \end{cases}
Para encontrar el quinto término, por ejemplo, tenemos que ampliar la sucesión término por término:
a, left parenthesis, n, right parenthesisequals, a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, plus, 2
a, left parenthesis, 1, right parenthesisequals, start color #11accd, 3, end color #11accd
a, left parenthesis, 2, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff
a, left parenthesis, 3, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54
a, left parenthesis, 4, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10
a, left parenthesis, 5, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2equals, 11
¡Genial! Esta fórmula nos da la misma sucesión que lo descrito por 3, 5, 7, ...

Comprueba tu comprensión

Ahora es tu turno de encontrar términos de sucesiones usando sus fórmulas recursivas.
Tal como usamos a, left parenthesis, n, right parenthesis para representar el n, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript término de la sucesión 3, 5, 7, ... podemos usar otras letras para representar otras sucesiones. Por ejemplo, podemos usar b, left parenthesis, n, right parenthesis, c, left parenthesis, n, right parenthesis o d, left parenthesis, n, right parenthesis.
3) Encuentra b, left parenthesis, 4, right parenthesis en la sucesión dada por {b(1)=5b(n)=b(n1)+9\begin{cases}b(1)=-5\\\\ b(n)=b(n-1)+9 \end{cases}
b, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) Encuentra c, left parenthesis, 3, right parenthesis en la sucesión dada por {c(1)=20c(n)=c(n1)17\begin{cases}c(1)=20\\\\ c(n)=c(n-1)-17 \end{cases}
c, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Encuentra d, left parenthesis, 5, right parenthesis en la sucesión dada por {d(1)=2d(n)=d(n1)+0.4\begin{cases}d(1)=2\\\\ d(n)=d(n-1)+0.4 \end{cases}
d, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Fórmulas explícitas de sucesiones aritméticas

He aquí una fórmula explícita de 3, 5, 7, ...
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Esta fórmula nos permite simplemente sustituir el número del término que nos interesa para obtener el valor de ese término.
Para encontrar el quinto término, por ejemplo, necesitamos sustituir n, equals, 5 en la fórmula explícita.
a(5)=3+2(51)=3+24=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
¡Y he aquí que obtenemos el mismo resultado que antes!

Comprueba tu comprensión

6) Encuentra b, left parenthesis, 10, right parenthesis en la sucesión dada por b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7) Encuentra c, left parenthesis, 8, right parenthesis en la sucesión dada por c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 20, minus, 17, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
c, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

8) Encuentra d, left parenthesis, 21, right parenthesis en la sucesión dada por d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 2, plus, 0, point, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
d, left parenthesis, 21, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Las sucesiones son funciones

Observa que las fórmulas que utilizamos en esta lección operan como funciones: sustituimos un valor de entrada n, y con la fórmula obtenemos el término a, left parenthesis, n, right parenthesis como valor de salida.
Las sucesiones están de hecho definidas como funciones. Sin embargo, n no puede ser el valor de cualquier número real. No hay tal cosa como el menos quinto término, ni el término 0.4 de una sucesión.
Esto significa que el dominio de las sucesiones (que es el conjunto de todos los valores de entrada posibles de la función) son los enteros positivos.

Un comentario sobre la notación

Hemos escrito a, left parenthesis, 4, right parenthesis, por ejemplo, para representar el cuarto término, pero en otros textos podemos escribir a, start subscript, 4, end subscript.
Se pueden usar las dos notaciones. Nosotros preferimos a, left parenthesis, 4, right parenthesis porque hace enfásis en que las sucesiones son funciones.

Pregunta para reflexionar

9) ¿Qué tipo de fórmula es más útil para encontrar rápidamente el término 100 de una sucesión aritmética?
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Problema de desafío

10) La fórmula explícita de una sucesión aritmética es f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, minus, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
¿Cuál término de la sucesión es igual a -65?
Número de término
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
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