Sucesiones y dominio

En este video nos vamos a enfocar en sucesiones  que espero que hayas visto. Si no sabes qué es una   sucesión, te invito a que revises los videos de  Khan Academy sobre el tema. Esta vez nos vamos a   enfocar en cómo podemos generar la misma sucesión  con diferentes funciones que tienen diferentes   dominios, así que comencemos con una sucesión  de ejemplo. Digamos que tenemos esta sucesión: 6,   a éste le llamamos el primer término -algunas  personas lo llaman término 0-, éste es el primer   término, después el segundo término es 12, luego  24, 48 y así sucesivamente, y como veremos hay   múltiples definiciones de funciones con las que  podríamos crear una sucesión. Una forma de pensar   en esto es que 6 = 6 • 1, esto es 6 • 2, 6 • 4, 6  • 8, así que parece que cada término es igual a 6   por una potencia de 2. Déjenme aclararlo: esto  es 6 • 2⁰, que es igual a 6 • 1; este término   es 6 • 2¹, este término es 6 • 2², 6 • 4; este  término es 6 • 2³. Y una forma de verlo es que   si consideramos que este es el término 0 podríamos  definir una función a(n), en donde n se refiere a   nuestro índice o al término de nuestra sucesión,  y es igual a 6 • 2 a la n, donde n comienza en 0   y luego sigue incrementándose en 1, de modo que en  realidad son todos los enteros mayores o iguales   a 0. Es muy importante especificar ese dominio  donde n es un entero y n es mayor o igual que 0.   Podríamos ver qué sucede si n no es un número  entero, si tratamos de poner 1.5 o algo así,   entonces no vamos a obtener uno de los términos  de la sucesión, y si no comenzamos en 0,   si comenzamos en 1, entonces este sería el primer  término en la sucesión, que no es lo que queremos,   queremos generar la sucesión que escribimos  originalmente. Y obviamente si comenzamos con   n = -1, entonces obtendríamos un valor diferente  para el primer término, de modo que esta es una   forma de definir o crear una función que  genera esta sucesión. Pero como veremos,   hay otras formas de hacerlo, por ejemplo,  déjenme escribir otra. Digamos que tengo b(n),   y digamos que en lugar de comenzar con n igual a 0  -y podríamos ver esto como el término 0- queremos   comenzar con n = 1, entonces lo que podemos hacer  es que cuando ingresemos un 1 esto esencialmente   se convierte en un 0. ¿Cómo podemos hacer eso?  Bueno, restémosle 1, así que podríamos decir:   6(2) a la potencia n -1, donde n es un entero y n  ≥ 1. Fíjense, ahora cuando ponemos n= 1 aquí, tal   vez podríamos decir que este es el primer término,  queremos generar un 6, ¿qué es lo que sucede?   1 - 1, obtenemos la potencia 0 que queremos justo  aquí, y así 6 • 2⁰ sin duda es igual a 6. Luego,   cuando n = 2, tenemos 6 • 2 a la n menos uno,  que es igual a 2¹, se convierte en 6 • 2, lo   que equivale a 12. Observa: estas son definiciones  de funciones diferentes con diferentes dominios,   pero están generando exactamente la misma  sucesión. También podríamos hacerlo de forma   recursiva; hemos hecho esto en otros videos,  podemos definir una función de forma recursiva.   Podríamos decir que cada uno de los términos de  nuestra sucesión es el doble del término anterior,   si queremos una definición recursiva para la  sucesión, podemos definir el primer término,   o, en este caso, podríamos decir el término 0, si  queremos comenzar con n = 0; t(0) = 6 y podríamos   decir t(n) = 2 t(n - 1), donde n es un entero y n ≥  0. Esto también genera la sucesión. Cuando ponemos   n = 0 aquí, obtenemos este término; cuando tenemos  n = 1, t(1) = 2 t(n - 1), t(0) en ese caso, sería   2 t(0) = 6, 2 • 6 = 12. Ahora, si quisiéramos  generar el 6 cuando n = 1, podemos hacerlo de esta   manera: en lugar de decir que t(0) = 6 podríamos  escribir que t(1) = 6, pero ahora tendríamos que   escribir un dominio diferente, donde n tiene  que ser un número entero, n es un entero,   y ahora en lugar de decir n ≥ 0, ahora n ≥ 1.  Esperemos que este video logre mostrar que hay   múltiples formas, ya sea con una función explícita  tradicional o con una función recursiva como esta.   En cualquiera de estos casos podríamos tener  diferentes dominios y diferentes definiciones de   funciones que generan la misma sucesión, pero  realmente tenemos que pensar en el dominio.