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Contenido principal

Geometría básica

Curso: Geometría básica > Unidad 8

Lección 5: Reflexiones
Matemáticas
Geometría básica
Transformaciones, congruencia y semejanza
Reflexiones
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Reflexión de figuras

Google Classroom
Aprende a determinas la imagen de una reflexón dada.
En este artículo encontraremos las imágenes de varias figuras al aplicar diferentes reflexiones.

La recta de reflexión

Una reflexión es una transformación que actúa como un espejo: intercambia todos los pares de puntos que están en lados exactamente opuestos de la recta de reflexión.
La recta de reflexión se puede definir con una ecuación o con dos puntos por los que pasa.

Parte 1: reflejar puntos

Estudiemos un ejemplo de reflexión sobre una recta horizontal

Se nos pide encontrar la imagen A, prime de A, left parenthesis, minus, 6, comma, 7, right parenthesis al aplicar una reflexión sobre y, equals, 4.
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. Una recta horizontal pasa por cuatro en el eje y. Hay un punto A en seis negativo, siete.

Solución

Paso 1: extiende un segmento de recta perpendicular desde A hasta la recta de reflexión y mídelo.
Como la recta de reflexión es perfectamente horizontal, una recta perpendicular a ella es perfectamente vertical.
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. Una recta horizontal pasa por cuatro en el eje y. Hay un punto A en seis negativo, siete. Una semirrecta se extiende del punto A tres unidades hasta la línea punteada.
Paso 2: extiende el segmento de recta en la misma dirección y en la misma medida.
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. Una recta horizontal pasa por cuatro en el eje y. Hay un punto A en seis negativo, siete. Una semirrecta se extiende del punto A tres unidades hasta la línea punteada. La semirrecta pasa la línea punteada tres unidades más.
Respuesta: A, prime está en left parenthesis, minus, 6, comma, 1, right parenthesis.
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. Una recta horizontal pasa por cuatro en el eje y. Hay un punto A en seis negativo, siete. Una semirrecta se extiende del punto A tres unidades hasta la línea punteada. La semirrecta pasa la línea punteada tres unidades más y apunta a la imagen de un punto A prima en seis negativo, uno.

¡Tu turno!

Problema de práctica

Dibuja la imagen de B, left parenthesis, 7, comma, minus, 4, right parenthesis al aplicar una reflexión sobre x, equals, 2.

Problema de desafío

¿Cuál es la imagen de left parenthesis, minus, 25, comma, minus, 33, right parenthesis al aplicar una reflexión sobre la recta y, equals, 0?
left parenthesis
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
comma
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

Estudiemos un ejemplo de reflexión sobre una recta diagonal

Se nos pide encontrar la imagen C, prime de C, left parenthesis, minus, 2, comma, 9, right parenthesis al aplicar una reflexión sobre y, equals, 1, minus, x.
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. Una línea punteada se inclina hacia abajo de izquierda a derecha y pasa por cero, uno y uno, cero. Hay un punto C en dos negativo, nueve.

Solución

Paso 1: Extiende un segmento de recta perpendicular desde C hasta la recta de reflexión y mídelo.
Como la recta de reflexión pasa exactamente por las diagonales de los cuadrados unitarios, una recta perpendicular a ella debe pasar por la otra diagonal del cuadrado unitario. En otras palabras, las rectas con pendientes start text, 1, end text y start text, negative, 1, end text siempre son perpendiculares.
Por conveniencia, midamos la distancia en "diagonales":
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. Una línea punteada se inclina hacia abajo de izquierda a derecha y pasa por cero, uno y uno, cero. Hay un punto C en dos negativo, nueve. Una semirrecta se extiende desde el punto C tres diagonales hasta la línea punteada.
Paso 2: extiende el segmento de recta en la misma dirección y en la misma medida.
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. Una línea punteada se extiende hacia abajo de izquierda a derecha y pasa por cero, uno y uno, cero. Hay punto C en dos negativo, nueve. Una semirrecta se extiende desde el punto C tres diagonales hasta la línea punteada. La semirrecta pasa la línea punteada y se extiende otras tres diagonales.
Respuesta: C, prime está en left parenthesis, minus, 8, comma, 3, right parenthesis.
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. Una línea punteada se extiende hacia abajo de izquierda a derecha y pasa por cero, uno y uno, cero. Hay punto C en dos negativo, nueve. Una semirrecta se extiende desde el punto C tres diagonales hasta la línea punteada. La semirrecta pasa la línea punteada y se extiende otras tres diagonales que apuntan al punto imagen C prima en ocho negativo, tres.

¡Tu turno!

Problema de práctica

Dibuja la imagen de D, left parenthesis, 3, comma, minus, 5, right parenthesis al aplicar una reflexión sobre y, equals, x, plus, 2.

Problema de desafío

¿Cuál es la imagen de left parenthesis, minus, 12, comma, 12, right parenthesis al aplicar una reflexión sobre la recta y, equals, x?
left parenthesis
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
comma
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

Parte 2: reflejar polígonos

Estudiemos un problema de ejemplo

Considera el rectangulo E, F, G, H dibujado a continuación. Dibujemos su imagen E, prime, F, prime, G, prime, H, prime al aplicar la reflexión sobre la recta y, equals, x, minus, 5.
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. Una línea punteada se inclina hacia arriba de izquierda a derecha y pasa por cero, cinco negativo y cinco, cero. Se muestra un rectángulo con los puntos E F G y H. El punto E está en tres negativo, tres; el punto F está en cinco, tres; el punto G está en cinco, tres negativo. El punto H está en tres negativo, tres negativo.

Solución

Cuando reflejamos un polígono, todo lo que necesitamos es realizar la reflexión de todos los vértices (esto es similar a cómo trasladamos o rotamos polígonos).
He aquí los vértices fuente y sus imágenes. Observa que E, F y H estaban sobre el lado opuesto de la recta de reflexión que G. ¡Lo mismo es cierto para sus imágenes, pero ahora cambiaron de lado!
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. Una línea punteada se inclina hacia arriba de izquierda a derecha y pasa por cero, cinco negativo y cinco, cero. El punto E está en tres negativo, tres; el punto F está en cinco, tres; el punto G está en cinco, tres negativo. El punto H está en tres negativo, tres negativo. Una semirrecta se extiende desde el punto E y pasa por la línea punteada hasta el punto E prima en ocho, ocho negativo. Una semirrecta se extiende desde el punto F y pasa por la línea punteada hasta el punto F prima en ocho, cero. Una semirrecta se extiende desde el punto G y pasa por la línea punteada hasta el punto G prima en dos, cero. Una semirrecta se extiende desde el punto H y pasa por la línea punteada hasta el punto H prima en dos, ocho negativo.
Ahora simplemente conectamos los vértices.
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. Una línea punteada se inclina hacia arriba de izquierda a derecha y pasa por cero, cinco negativo y cinco, cero. El punto E está en tres negativo, tres; el punto F está en cinco, tres; el punto G está en cinco, tres negativo. El punto H está en tres negativo, tres negativo. Una semirrecta se extiende desde el punto E y pasa por la línea punteada hasta el punto E prima en ocho, ocho negativo. Una semirrecta se extiende desde el punto F y pasa por la línea punteada hasta el punto F prima en ocho, cero. Una semirrecta se extiende desde el punto G y pasa por la línea punteada hasta el punto G prima en dos, cero. Una semirrecta se extiende desde el punto H y pasa por la línea punteada hasta el punto H prima en dos, ocho negativo. E prima, F prima, G prima y H prima forman la imagen de un rectángulo.

¡Tu turno!

Problema 1

Dibuja las imágenes de los segmentos de recta start overline, I, J, end overline y start overline, K, L, end overline al aplicar la reflexión sobre y, equals, minus, 3.

Problema 2

Dibuja la imagen de triangle, M, N, O al aplicar una reflexión sobre y, equals, minus, 1, minus, x.

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