Examen AP Calculus AB, 2011. Pregunta 4c

inciso se encuentra todos los valores de x en el intervalo menos 4 menor que x menor que 3 en los cuales la gráfica de que tenga un punto de inflexión da la razón de tu respuesta bueno primero vamos a recordar lo que es un punto de inflexión un punto de inflexión es aquel en donde la segunda derivada cambia de signo es decir que si tomamos un punto muy cercano al punto de inflexión la segunda derivada va a cambiar de ser positiva negativa o en dado caso de ser negativa a ser positiva así que veamos un ejemplo gráfico para ver qué es lo que está sucediendo miren voy a hacer una gráfica este de aquí este de aquí va a ser mi función y fíjense lo que es un punto de inflexión vamos a analizar qué pasa con los pendientes en mi recta tangente en cada punto de mi función al principio las pendientes son negativas hasta que llegan al punto crítico en donde la pendiente vale cero y después del punto crítico en las pendientes se vuelven positivas hasta aquí las pendientes siempre han crecido hasta que llegan a un punto en el cual la pendiente empieza a decrecer en un punto en el cual la pendiente empieza a decrecer y a partir de ahí la pendiente se vuelve de positiva a 0 y de 0 a negativa es ese punto donde las pendientes cambian de crecer a decrecer el punto de inflexión cuando la pendiente cambia de crecer a decrecer hay un punto de inflexión y de hecho también al revés si la pendiente cambia desde crecer a crecer también hay un punto de inflexión voy a dibujar esta función como si fuera una función trigonométricas y dese cuenta que aquí también hay otro punto de inflexión porque la pendiente cambia desde crecer a crecer sin embargo en mi problema de x no está tan fácil de visualizar en donde hay un punto inflexión es decir dónde cambia de la pendiente de que se ha de crecer o viceversa entonces lo que vamos a hacer es fijarnos en donde cambia de signo mi segunda derivada así que vamos a poner aquí hace de x que es igualdad 2x + la integral de 0 a x df de tdt y vamos a calcular su derivada quien es la primera derivada de eje x pues es la derivada de 2x que es 2 más la derivada de la integral de 0 a x df de tdt que por el teorema fundamental del cálculo es simple y sencillamente fx y así ya podemos calcular su segunda derivada muy sencillo la derivada de 20 y la derivada de fx pues es efe prima de x pero buscar en donde cambia la segunda derivada de que designó va a ser equivalente a buscar en donde cambia la primera derivada de ft el signo lo que quiero buscar donde cambian de signo y bueno buscar donde cambio la primera derivada de f de signo es buscar en donde cambia de signo en la pendiente de la recta tangente de f es decir la pendiente de la recta tangente de f entonces vamos a la gráfica de f si nos damos cuenta al principio la pendiente es positiva porque es positiva positiva positiva aquí sigue siendo positiva vamos a colorearlo va a ser positiva positiva positiva positiva positiva aquí la pendiente sigue siendo positiva aunque empieza a decrecer pero sigue siendo positiva todo por el dispositivo positivo positivo positivo y llega a un punto en donde la pendiente cambia drásticamente y a partir de ese punto la pendiente ya es negativa aquí la pendiente es negativa negativa negativa en negativa negativa negativa negativa entonces llegó a un punto en donde la pendiente cambió de ser positiva a ser negativa ahí está mi cambio de signo sin embargo desde cuenta que en este punto mi función efe de x no es diferenciable y no es diferenciable porque la función da un salto de x 0 x igual a 3 de la nada sin embargo no importa lo que nosotros queríamos en un cambio de signo y aquí tenemos una pendiente positiva y después cambia a ser una pendiente negativa por lo tanto hay un cambio de signo este valor de x entonces ya tengo lo que yo quería tenemos un cambio de signo en la primera derivada de f que era igual a un cambio de signo en la segunda derivada de g y por lo tanto ya acabé muy problema cuando x vale 0 la segunda derivada deje de x tiene un cambio de signo y por lo tanto la gráfica de eje x tiene un punto de inflexión