Examen AP Calculus AB, 2011. Pregunta 5a

problema 5 al principio del 2010 un contenedor tenía 1.400 toneladas de residuos la función creciente w la función creciente w modela el total acumulado de residuos almacenados en el contenedor los administradores estiman que w satisface la ecuación diferencial derivada de w con respecto al tiempo es igual a un 25 hago de w menos 300 por los siguientes 20 años donde w son toneladas y t son las unidades de años desde el 2010 inciso a usa la recta tangente de las gráficas de w en el tiempo igual a cero en el tiempo igual a cero eso es importante para aproximar la cantidad de residuo que tendrá el contenedor después de los siguientes tres meses es decir en el tiempo de igual a un cuarto de igual a un cuarto porque tres meses son un cuarto de año bueno antes que nada quiero que se den cuenta que nosotros no sabemos nada de w w con respecto al tiempo la gráfica de w realmente no sabemos nada más que la ecuación diferencial de w que no nos dice mucho al respecto de w por ahorita al menos lo que sabemos es que w es una función creciente entonces imagínense que yo tengo aquí al a un plano cartesiano en este plano cuando yo tengo el eje de la w que empiezan en 400 toneladas y a partir de aquí es una función creciente entonces esta es mi función w este es el tiempo contra w de hecho ahorita que lo veo voy a borrar un poco esta función porque es lo que necesito yo es la recta tangente a w en el tiempo igual a un cuarto entonces voy a hacer mejor esta gráfica como w y ahora sí voy a dibujar la recta tangente en el tiempo igual a cero va a ser esta de verde yo lo que quiero es la pendiente de la recta tangente en el tiempo igual a cero para aproximarla al tiempo igual a un cuarto entonces quiero esta recta tangente en el tiempo igual a un cuarto quiero aproximar al tiempo igual a un cuarto entonces si este es el tiempo aquí tengo un cuarto y lo que yo voy a querer hacer es agarrar la recta tangente en el tiempo igual a cero para aproximar al tiempo igual a un cuarto eso es lo que voy a hacer a partir de ahorita repito otra vez para que nos quede más claro yo lo que quiero es la pendiente de la recta tangente evaluada en el tiempo igual a cero para darnos una aproximación de qué es lo que pasa en el tiempo igual a un cuarto entonces yo creo que para esto voy a agarrar la cosa el diferencial le voy a escribir de otra manera de una manera que va a ser mucho más amena para trabajar y que nos va a dar o nos va ayudar a dar la respuesta bueno pues darse cuenta que la derivada de w con respecto al tiempo es lo mismo que w prima de t y esto es igual a un 25 de quien de www atentos espacial w de t menos 300 y yo lo que quiero es evaluar la función derivada de w con respecto al tiempo es decir w prima de t en el tiempo igual a 0 o sea w prima de 0 entonces quién es w prima de 0 pues lo voy a escribir aquí ya está muy fácil el resolver este problema wv prima de 0 es igual a un 25 por la fórmula de derivada de w con respecto al tiempo de w de zero que ya sabemos cuánto es es 1400 menos 300 bien ahora voy a sustituir w 0 que es mil 400 toneladas vamos a escribir los dobles prima de 0 o la pendiente de la recta tangente evaluada en 0 o la derivada evaluado en el tiempo igual a 0 es igual a un 25 por 1.400 menos 300 que 1.400 menos 306 mil 100 entonces solamente habrá que multiplicarlo por un mid xinhua por dividido entre 25 que ya no hay tanta dificultad 1100 entre 25 es lo mismo que 44 y con esto acabo de encontrar la pendiente de mi recta tangente en el tiempo igual a cero entonces acabo de encontrar la pendiente m es igual a 44 no mejor de voy a poner el nombre pendiente es igual a 44 y bueno de que me va a servir esta pendiente para ayuda a aproximar mi cantidad de residuo que voy a obtener en el tiempo igual a un cuarto bueno tal vez no se note muy bien aquí en mi gráfica pero lo que voy a hacer es intentar hacer una gráfica mejor para que vean a qué me refiero con aproximar en el tiempo igual a un cuarto entonces voy a intentar hacer una mejor gráfica estos son mis ejes aquí empiezo en 1400 estos viajes de w este es el eje del tiempo y voy a intentar hacer una mejor gráfica bien a lo mejor algo más exagerado un bien y a ver qué hacemos aquí esta es muy gráfica w es una gráfica creciente y lo que voy a hacer es fijarme en el tiempo igual a un cuarto entonces al menos lo que sé es que mi pendiente de mi recta tangente en cero es igual a 44 entonces está pendiente la tengo y supongamos que aquí va a ser 1 y tener una pendiente de 44 quiere decir que si yo recuerdo una unidad de tiempo mi recta va a aumentar 44 unidades en w pero yo no quiero en una unidad de tiempo yo solamente quiero en un cuarto entonces mi aproximación tiene que ser mejor entonces qué voy a hacer voy a tomarme que este es un medio y entonces este es un cuarto y voy a ver qué pasa con una aproximación en un cuarto fíjense es esta la aproximación que yo voy a tomar entonces darse cuenta que mi recta tangente realmente sí se parece mucho al valor que debería de tener mi función entre igual a un cuarto entonces déjenme escribir en la ecuación de esta recta y la ecuación esta recta es w de aproximación w aproximado es igual a 44 que es la pendiente porque más en donde corte en el eje de w o sea mil 400 w aproximado ya no puedo calcular en el tiempo igual a un cuarto de estos y de a 44 no esperen mejor de que me ponerlo de una manera más formal w aproximado en el tiempo igual a un cuarto en un cuarto va a ser igual a 44 por un cuarto más 1400 y ya están aproximación w aproximado de un cuarto apenas y nueva caber ok 44 por un cuarto es lo mismo que 11 entonces va a ser 11 más 1.400 y esto es lo mismo que mil 411 toneladas porque eso estábamos viviendo en toneladas y pues ya está ya tenemos una aproximación que tal vez no sea el valor real pero es una buena aproximación dado que un cuarto es un punto muy cercano al cero entonces ya tenemos una buena aproximación y la respuesta del inciso a 1411 toneladas