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Cálculo, todo el contenido (edición 2017)

Unidad 8: Lección 1

Preguntas del examen AP Calculus AB

Examen AP Calculus AB/BC, 2015. Pregunta 5a

Máximos de f a partir de la gráfica de f'.

Transcripción del video

la siguiente figura muestra la gráfica de f prima es decir la derivada de la función f que es dos veces derivable en el intervalo menos 34 entonces tenemos un intervalo cerrado la gráfica de f prima tiene tangentes horizontales en x igual a menos uno en ex igual a 1 y en x igual a 3 entonces observamos que aquí en x igual a menos 1 vamos a tener una tangente horizontal se vería más o menos así en x igual a 1 también tenemos otra tangente horizontal que se va a ver así y también pasa lo mismo en x igual a 3 tenemos otra tangente horizontal y después dice el área de la región encerrada por el eje x y la gráfica f prima en los intervalos menos 21 y 1.4 es de 9 y de 12 respectivamente ok entonces si nos fijamos en la región encerrada por el intervalo menos 21 toda esta tiene un área de 9 es justo lo que dice tiene una área de 9 entonces vamos a escribirlo esté aquí tiene un área de 9 y también nos dicen que la región encerrada por el intervalo 1 a 4 por el intervalo 14 toda esta región tiene un área de 12 así que lo voy a escribir también aquí tenemos un área de 12 muy bien inciso a encuentra todas las coordenadas x en donde f tengo un máximo relativo justifica tu respuesta y observando que dice encuentra todas las coordenadas x en donde f tenga un máximo relativo ojos seguramente va a estar muy tentado a decir oh mira aquí tengo un máximo relativo y que acabamos pero ten cuidado porque esta no es la gráfica de f esta es la gráfica de ese prima de x entonces hay que pensar un poco este problema porque no tenemos la gráfica de f dada de una manera explícita así que pensemos un poco que tiene que pasar para que f tengo el máximo relativo bien primero si no estás familiarizado con cómo se ve un máximo relativo se va a ver más o menos así como un pequeño chip o está bueno también se podría ver algo así pero esta no es una función derivable en este intervalo así que seguramente no se ve así lo que buscamos entonces qué sabemos de estos máximos relativos bueno pues si tenemos aquí a nuestro máximo relativo lo voy a poner justo aquí entonces lo primero que sabemos es que los valores cercanos a esta x a este máximo relativo por la izquierda tienen una pendiente positiva y tienen una pendiente positiva porque la función está creciendo conforme nos acercamos a este valor así que observa que todos estos de aquí tienen una pendiente positiva entonces déjame escribirlo efe está creciendo está creciendo y eso quiere decir que entonces la primera derivada de x va a tener que ser más grande que 0 tiene que ser positiva y después de pasar este punto máximo después de pasar este punto máximo que pasa con todos estos puntos aquí bueno pues si observas la función aquí está decreciendo y si está decreciendo eso quiere decir que la pendiente de la recta tangente de cada uno de estos puntos es negativa va hacia abajo entonces también lo voy a escribir en este caso efe ésta decreciendo entonces la primera derivada de x es menor que cero y observa eso es lo que pasa justo aquí en este máximo relativo tenemos un valor de x donde la derivada cambia de ser mayor que cero de ser mayor que cero a ser menor que cero entonces vamos a escribir eso que es muy importante efe tiene un máximo relativo si pasa aquí bueno si pasa que la derivada ojo estamos hablando aquí de la derivada cambia de positiva a negativa de positiva a negativa positiva a negativa y bueno entonces ahora nos podemos fijar en la gráfica de acá arriba del nuevo podemos regresar aquí y ver en donde pasa esto como esta es la gráfica de f prima de x vamos a fijarnos en donde f prima cambia de ser positiva a ser negativa y si observas va a pasar justo aquí observa aquí tenemos la función positiva positiva positiva positiva positiva cruzamos este punto y nos convertimos en negativa negativa negativa observa puedes ver que aquí la función f prima es mayor que 0 en todo esto efe prima es mayor que 0 justo aquí y eso quiere decir que f está creciendo pasamos a esto punto de aquí pasamos en este punto de aquí y después de esto observa qué efe prima es negativa aquí ya tenemos a efe prima negativa observa la entonces en este valor de x igual a menos 2 efe lina cambia de positiva negativa entonces ya podemos asegurar que f ojo no es de prima f está creciendo en ese intervalo porque f prima es positiva después llegamos a este valor de menos 2 y pasando este valor de menos 2 efe está decreciendo aquí porque f prima es negativa entonces ahora sí ya podemos concluir podemos decir que esto de aquí esto de aquí pasa esto de aquí pasa esto pasa en donde bueno en x igual a menos 2 y observa es el único punto en donde pasa eso así que esa es la respuesta del inciso a