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Cálculo, todo el contenido (edición 2017)

Unidad 8: Lección 1

Preguntas del examen AP Calculus AB

Examen AP Calculus AB/BC, 2015. Pregunta 5d

Construir una expresión para f que involucre una integral.

Transcripción del video

parte de sí efe de uno es igual a tres escribe una expresión para fx que involucre una integral así que dice que involucre una integral y estoy seguro que debe de involucrar también a la primera derivada de x y más cuando nos han dado tanta información acerca de f prima por ejemplo su gráfica su área debajo o por encima de la curva de diferentes integrales etcétera y ya por último nos piden que encontremos a efe de 4 y a efe de menos 2 entonces vamos a pensar cómo podemos conectar esto como podemos conectar a la primera derivada de x con una integral y bueno para eso piensa que va a pasar si tomamos la integral de am avn de no sé se me ocurre pensar en f prima de x esto de x qué es esto que obtengo de tomarme esta integral bueno pues esto va a ser la anti derivada de este prima de x lo cual es fx fx está evaluada en am y b y después nos tomamos la diferencia es decir esto va a ser lo mismo que efe db - efe de a estás de acuerdo lo único que hice fue aplicar el teorema fundamental del cálculo ok pero esto es muy interesante porque qué tal si en lugar de ver pongo aquí a x y bueno si ponemos a x en uno de nuestros límites de integración entonces también vamos a tener que cambiar la variable de integración déjame hacerlo esto me va a quedar de la siguiente manera qué pasa si me tomo la integral de a la x de f prima y vamos a cambiar la variable de integración así que voy a poner de f prima de un d a que va a ser igual esto bueno pues si seguimos la misma lógica esto va a ser lo mismo que f de x menos efe de a siguiendo la misma lógica la anti derivada evaluada en x el límite superior menos la andi derivada evaluada en el límite inferior perfecto pero queremos resolver para ftx entonces si sumamos f de ambos lados voy a obtener que fx va a ser igual a la integral de aa x de f prima de 1 y bueno recuerda que estoy cambiando las variables para no confundirnos y poder poner a x como el límite superior de esta integral podría usar cualquier variable a efe prima de uno de uno más fede a más efe am y esta es la forma general para encontrar a fx ahora fíjate que también nos dan otro dato por aquí esto también es parte de la información de este inciso f 1 es igual a 3 así que qué te parece si elegimos que amp tomen el valor de 1 entonces aquí lo que daría 1 y aquí me quedaría 1 y entonces ftx fx se va a ver como la integral de 1 porque ahora a vale 1 de 1 x de efe prima de uno de uno de uno más efe de uno pero sabemos cuánto vale f de 1 f1 es igual a 3 es lo que nos dan entonces esto + 3 y ya con esto está de lujo porque tenemos la primera parte de este inciso esta es la respuesta de la primera parte que dice escribe una expresión para fx que involucre una integral muy bien ahora ya que tenemos esta integral que te parece si buscamos el valor de f de 4 y bueno ft 4 va a ser igual si sustituimos en esta fórmula a x x 4 me quedaría la integral de 1 a 4 de f prima de un gesto de 1 + 3 no olvidemos más de 3 entonces cuánto va a ser la integral de 14 de f prima dvd 1 para eso vamos a regresar a la gráfica que teníamos acá arriba hasta arriba esta de aquí porque si pensamos en la integral de 1 a 4 de esta función que tengo aquí observamos que es el área de esta sección que está por encima de la curva es toda esta área que tengo aquí pero ojo esto nos da una región con área negativa porque si sólo te tomas la integral estás pensando en el área por encima del eje y entre los límites de la integral en este caso tenemos algo por debajo del eje x por abajo del eje horizontal por eso en este caso tenemos un área negativa y de hecho no nos daba el problema recuerdas dice la región encerrada en el intervalo 1 a 4 es de 12 entonces esta área es de 12 pero nos vamos a tomar el área negativa lo cual serán menos 12 ahora si podemos regresar al problema y sustituir esa información entonces todo esto de aquí todo esto es menos 12 y entonces me va a quedar menos 12 3 lo cual es 9 negativo menos 9 perfecto y ya con eso tengo a efe de 4 ahora vamos a pensar cuánto vale efe - 2 y bueno si sustituimos a x por menos 2 en esta expresión que tengo aquí me va a quedar lo mismo que la integral de uno a menos dos de f1 de f prima de un d y a esto habrá que sumarle 3 pero no sientes que algo extraño por aquí bueno es que el límite superior es menor al límite inferior así que podemos escribir esto de la siguiente manera podemos poner un signo menos antes de la integral y voltear los límites de integración entonces me quedaría la integral negativa desde menos 2 hasta 1 de f prima de 1 de 13 y ahora vamos a preguntarnos por cuál es la integral de menos 2 a 1 efe prima de uno de uno y eso también nos lo dan está justo acá arriba en la gráfica si observas de menos dos a uno tenemos en esta región esta región y el área de esta región nos dicen que es lo mismo que 9 pero de nuevo estamos por debajo del eje horizontal entonces podemos decir que la integral que queremos evaluar va a ser de menos 9 ojo el área es de 9 pero como la curva está por debajo del eje horizontal entonces la integral tomará el valor de menos 9 y ahora sí podemos sustituir eso mismo acaba entonces esta integral de aquí toman el valor de menos 9 y entonces esto me va a quedar como menos -9 + 3 lo cual es lo mismo que 93 es 2 y ya con esto hemos acabado