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Cálculo, todo el contenido (edición 2017)

Unidad 8: Lección 1

Preguntas del examen AP Calculus AB

Examen AP Calculus AB/BC, 2015. Pregunta 6b

Punto sobre una curva donde la tangente es vertical.

Transcripción del video

parte de encuentra las coordenadas de todos los puntos en la curva en los cuales la recta tangente de la curva sea vertical entonces queremos encontrar los puntos en la curva cuya recta tangente sea vertical así que recordemos un poco qué significa tener una recta tangente vertical como su pendiente bueno empecemos por una recta horizontal si tú tienes una recta horizontal como ésta que tengo aquí entonces podemos decir que su pendiente es cero otra forma de pensarlo es decir que la derivada de james con respecto a x de esta recta horizontal es 0 muy bien y ahora qué pasa con una recta vertical supongamos que esta es mi recta vertical bueno si tienes una recta vertical como ésta cuál es la tasa de cambio del yen con respecto a x cuál es su pendiente bueno algunas personas podrían decir que en este caso la derivada de con respecto a x es decir su pendiente es infinito o también puedes decir que es indefinida d fin 'vida y bueno cualquiera de estos dos razonamientos es correcto porque en algún punto estaríamos dividiendo entre 0 tienes un gran cambio en james y ningún cambio en x ahora también hay otra forma de pensar esto mismo y esta forma nos ayudará a resolver este problema si decimos cuánto vale la derivada de x con respecto ayer es decir observa que me estoy tomando el recíproco ahora tengo la derivada de x con respecto ayer y en este caso esto sería igual a 0 porque tu tiempo cambia mucho pero tu x no cambia entonces podemos tener esta idea de aquí en esto para una recta vertical y pensar en las coordenadas de todos los puntos en la curva en los cuales la recta tangente de la curva sea vertical y lo bueno es que acá arriba nos dan ya cuál es la derivada de que con respecto a x eso es muy importante así que déjame anotarlo de nuevo la derivada de james con respecto a x nos dice en el problema es lo mismo que bueno bien esto sobre tres veces de cuadrada menos x muy bien entonces una cosa que podemos hacer es ver cuando la derivada de x con respecto a james es igual a cero y aquí tenemos la derivada de con respecto a x así que si nos tomamos el recíproco nos quedaría la derivada de x con respecto a alguien que es justo lo que queremos y bueno para esto habrá que tomarnos el recíproco de este que va a ser lo mismo que 3 cuadrada - x esto a su vez dividido entre 10 y bueno lo que quiero hacer es que esto sea igual a 0 es justo lo que me dice aquí y si queremos que esto sea igual a cero entonces tenemos que igualar a cero la parte de arriba el numerador esto que tengo aquí tiene que ser igual a cero entonces déjame bajar un poco esta pantalla para ver para qué x y para qué y en tres y cuadrada menos x es igual a cero queremos que 3 bien cuadrada menos x esto sea igual a 0 y bueno esto va a ser igual a 0 cuando 3 y cuadrada sea igual a x lo único que hice fue sumar x de ambos lados ahora otra forma de pensarlo es decir para qué valor x james la derivada de 10 con respecto a x es indefinida y bueno es indefinida si el denominador esta parte de acá abajo es igual a 0 y observa que estaríamos llegando justo a lo mismo y bueno es que al final cuando hablamos de cosas indefinidas pensamos en cosas no tan intuitivas en cosas confusas pero si pensamos en la tasa de cambios de x con respecto a james y pensamos que esto sea igual a cero yo creo que eso nos lleva a la misma conclusión y me parece que es más intuitivo bueno entonces buscamos todas las xy que cumplan que tres ya cuadrada sea igual a equis pero que además estén en la curva es decir que también satisfagan esta ecuación que tenemos acá arriba y elevado al cubo menos x james es igual a 2 es más déjeme anotarlo acá abajo también queremos que vivan en la curva y la curva tiene como ecuación kubica - x bien esto tiene que ser igual a 2 entonces por qué no usamos estas dos ecuaciones e intentamos resolver para x y para allá y lo que más fácilmente se me ocurre es que sustituyamos a x que sabemos que vale 3 y cuadrada justo aquí en esta ecuación justo aquí la tenemos entonces si tomo la ecuación original de la curva tendría que kubica menos y aquí tengo x james pero buscamos una x que sea igual a 3 de cuadrada así que lo voy a poner aquí que multiplica a 310 cuadrada y esto a su vez que multiplica y que sea igual a 2 y observa que de aquí ya podemos obtener el valor del yen porque entonces tengo que kubica menos a veces se ubican esto tiene que ser igual a dos o dicho otra manera menos dos veces jake ubican esto tiene que ser igual a 2 y cierra divido de ambos lados entre menos 2 de ambos lados entre menos 2 voy a obtener que jett kubica tiene que ser igual a menos 1 o lo que es lo mismo bien tiene que ser igual a menos 1 porque menos 1 elevado al cubo es lo mismo que menos 1 y bueno sí ahora ya tenemos que ya tiene que tomar el valor de menos 1 para que se cumplan estas dos ecuaciones simultáneamente ahora cuánto vale x bueno pues x es igual a tres veces cuadrada pero ya tenemos el valor de james es menos 1 entonces me va a quedar 3 x menos 1 elevado al cuadrado y menos un elevado al cuadrado es lo mismo que uno entonces me va a quedar que x toma el valor de 3 y ya está porque si nos preguntan las coordenadas de todos los puntos en la curva en los cuales la recta tangente a la curva sea vertical bueno ya tenemos que el punto tres coma menos uno este va a ser el punto en la curva en el cual la recta tangente a la curva es vertical y ya con esto tenemos nuestra respuesta y hemos acabado