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Cálculo, todo el contenido (edición 2017)

Unidad 8: Lección 1

Preguntas del examen AP Calculus AB

Examen AP Calculus AB/BC, 2015. Pregunta 6c

Encontrar la segunda derivada por medio de diferenciación implícita.

Transcripción del video

parte se evalúa la segunda derivada de ye gon respecto a x en el punto de la curva donde x es igual a menos 1 y ya es igual a 1 bien lo primero que vamos a hacer es regresar al principio donde nos dicen cuánto vale la derivada de con respecto a x y eso lo tenemos acá arriba observa dicen que la derivada de que con respecto a x es igual hay que entre 3 y cuadrada menos x así que vamos a notarlo acá abajo para poderlo trabajar mucho más fácil tengo esto de aquí y voy a notar que la derivada de la derivada de g con respecto a x es lo mismo que bien esto dividido entre 3 y cuadrada menos ahora lo que nosotros queremos es la segunda derivada de con respecto a x ambas veces lo cual esencialmente es tomarme la derivada con respecto a x de ambos lados pero si aplicó la regla de la derivada de un cociente aquí a mi derecha esto parece que se va a volver un poco peliaguda así que se me ocurre ver si puedo simplificar este procedimiento y para eso voy a trabajar un poco con derivación implícita bueno lo primero que vamos a hacer es multiplicar de ambos lados de esta igualdad por tres ya cuadrada menos x y me va a quedar 3 cuadrada - x esto que multiplica a la derivada de con respecto a x a la derivada de james con respecto a x fueron va a ser igual a ye y ahora tomaremos la derivada de todo esto así que aplicaré el operador derivada con respecto a x de ambos lados déjame notarlo el operador derivada con respecto a x del lado izquierdo y el operador derivada con respecto a x del lado derecho y bueno del lado izquierdo tengo el operador derivada con respecto a x de todo esto así que observa que vamos a tener que usar la regla de la derivada del producto primero tomaré la derivada de esto que tengo aquí de tres ya cuadrada menos x ya eso lo voy a multiplicar por la derivada de ella con respecto a x ya eso voy a sumarle la derivada con respecto a x de esta derivada y voy a multiplicarlo por el primero así que empecemos si me tomo la derivada de tres y cuadrada menos x bueno eso va a ser lo mismo que primero tengo la derivada de 3 y cuadrada con respecto a ayer lo cual es seis veces y ya esto habrá que multiplicarlo por la derivada de yen con respecto a x si esto no te es familiar del cargo que vayas a la sección de derivación implícita en la calaca de min porque ahí hay muchos vídeos realmente este tipo de derivación es una extensión de la regla de la cadena me tomo la derivada de tres y cuadrada con respecto ayer que es 6 james ya esto lo multiplicó por la derivada del ye con respecto a x que es esto de aquí y ahora nos tomaremos la derivada de menos x con respecto a x lo cual es menos 1 muy bien y todo esto todo esto lo vamos a multiplicar por el segundo que es la derivada de james con respecto a x muy bien y ahora a esto le voy a sumar le voy a sumar la derivada del segundo que me va a quedar la derivada con respecto a x de la derivada de ya con respecto a x bueno eso es la segunda derivada del jem con respecto a x ambas veces muy bien ya eso habrá que multiplicarlo por el primero entonces a esto lo voy a multiplicar por 3 y el cuadrado menos bien al final solo estoy aplicando la regla del producto una vez más tenemos la derivada del primero por el segundo la derivada del primero por el segundo más la derivada del segundo por el primero por el primero y bueno esto va a ser igual a la derivada de con respecto a x lo cual es de james d muy bien y ahora lo que nosotros queremos es la segunda derivada de con respecto a x ahora para obtener ésta lo que podemos hacer es despejar la o utilizar los valores que nos dan para poder obtener así de una manera más sencilla la segunda derivada de que con respecto a x es decir si sustituyó estos valores que me dan justo aquí me va a quedar solamente una ecuación con una pequeña cuenta de américa así que vamos a hacerlo aquí dice que nos fijemos cuando ya vale 1 cuando vale 1 entonces lo voy a sustituir justo aquí lo voy a sustituir por 1 y aquí también tengo james entonces lo voy a sustituir por 1 muy bien y cuando x vale menos uno cuando x vale menos uno aquí tengo x entonces me va a quedar que en lugar de éste tengo menos cuidado con este signo menos uno bien y ahora pensemos en cuánto vale la derivada de con respecto a x cuando x vale menos uno y llevarle uno bueno pues me va a quedar que la derivada de james con respecto a x esto es lo mismo que y vale 1 entonces tengo un 1 entre 3 veces uno al cuadrado lo cual es 3 - menos 1 menos -1 o sea que es lo mismo que bueno un cuarto y tiene mucha lógica porque justo fue lo que encontramos en el primer ejercicio si recuerdas aquí arriba en el primer ejercicio encontramos que en el punto menos 11 la derivada de ye con respecto a x valía un cuarto muy bien regresemos a donde estábamos a aquí y ahora vamos a sustituir la derivada de y con respecto a x por un cuarto así que en lugar de esto voy a poner aquí un cuarto en lugar de esto voy a poner aquí un cuarto y en lugar de este de aquí voy a poner un cuarto y observa que ya sustituye cada uno de estos valores por valores numéricos lo que va a ser muy fácil que así obtenga la segunda derivada del ieh con respecto a x vamos a ver primero tengo 6 x 1 por un cuarto me va a quedar seis cuartos o 1.564 menos uno bueno 64 menos cuatro cuartos es lo mismo que dos cuartos dos cuartos y esto lo voy a multiplicar por un cuarto muy bien ya esto le voy a sumar y aquí tengo la segunda derivada de ayer con respecto a x que multiplica a bueno 3 - menos 1 es 44 esto tiene que ser igual a un cuarto de lujo 3 - menos 1 344 por la segunda derivada de que con respecto a x eso tiene que ser igual a un 4 y ahora tengo dos cuartos por un cuarto bueno esto es lo mismo que dos dieciseisavos y es lo mismo que un octavo un octavo más cuatro veces la segunda derivada de james con respecto a x esto tiene que ser igual a un cuarto muy bien y ahora déjame bajar un poco la pantalla si seguimos por acá abajo voy a obtener que cuatro veces la segunda derivada de james con respecto a x va a ser igual a un cuarto un cuarto menos un octavo pero un cuarto es lo mismo que dos octavos entonces dos octavos menos un octavo es lo mismo que uno de lugo entonces cuatro veces la segunda derivada de james con respecto a x es igual a un octavo o dicho otra manera sí / de ambos lados entre 4 me va a quedar que la segunda derivada de bien con respecto a x cuando x vale menos 1 y ya vale 1 es lo mismo que un octavo entre 4 lo cuales 132 sea y esta es mi respuesta correcta ya con esto hemos acabado