Examen AP Calculus AB/BC, 2015. Pregunta 1c

muy bien esta vez vamos a resolver la parte se dice para qué valor de t 0 menor o igual que te menor o igual que 8 es decir que está entre 0 y 8 la cantidad de agua en la tubería es mínima justifica tu respuesta bien pues para esto lo que vamos a hacer es definir una función una función que voy a llamar a y esta función va a representar la cantidad de agua en la tubería en cualquier tiempo t entonces va a ser una función que depende del tiempo y una vez que tengamos esta función lo que voy a hacer es buscar el valor mínimo para esta función a en bueno este intervalo así que digamos que a bt es decir la cantidad de agua en la tubería para cualquier tiempo te va a ser igual y bueno vamos a recordar cuál es la cantidad de agua con la que empezamos hemos escrito justo acá arriba si lo ves aquí dice que empezamos con 30 pies cúbicos de agua en el tiempo te igual a cero así que si regresamos a la pregunta y una vez que estemos justo por acá lo primero que voy a escribir son estos 30 pies cúbicos con los que empezamos en el tiempo de igual a cero ya es donde vamos a tener que sumar o quitar una cierta cantidad de agua entonces a esto le vamos a sumar y bueno le vamos a sumar la integral desde el tiempo de igual a cero hasta el tiempo de muy bien porque ojo observa que esta es una función de tema y de que tomaremos integral bueno pues pensemos en nuestro flujo de entrada en nuestra entrada neta ya esto lo vamos a multiplicar por un pequeño cambio en el tiempo así que si sumamos todos estos pequeños cambios en el tiempo desde cero hasta t entonces vamos a tener el club de entrada agregado así que cuál es nuestro flujo de entrada bueno pues para eso vamos a recordar nuestras funciones que tenemos acá arriba tenemos una función r que es la tasa a la que entra el agua y tenemos una función de qué es la tasa a la que sale el agua y en lugar de escribir a t justo aquí voy a usar a x porque acá abajo estoy usando atem justo aquí en uno de mis límites de integración que va a ser nuestra variable que usaremos para el límite superior de la integral y por eso vamos a tener una función de tema entonces me voy a tomar a rd x que es mi tasa de entrada ya esto le voy a quitar d de esta variable x que es mi taza de salida y bueno podemos usar cualquier variable pero al final la variable importante stem que nos va a ayudar a darnos esta función r tx menos de x ya esto lo voy a multiplicar por un pequeño cambio en el tiempo de x de nuevo esta es nuestra tasa neta de entrada es decir lo que entra menos lo que sale y bueno a esto lo estamos multiplicando por pequeños cambios en el tiempo o en x en este caso y vamos a tomarnos la suma de todos ellos desde el tiempo cero hasta el tiempo temp así que esto nos va a dar cuánta agua vamos a tener en la tubería en cualquier tiempo t ahora bien pensemos en qué punto esta función am toma un valor mínimo en este intervalo y realmente hay tres posibilidades en donde puede tomar el punto mínimo la primera es tomar el punto mínimo justo al principio es decir en a de cero la segunda es que tome un punto mínimo en el punto final es decir cuando te vale 8 a de 8 o la tercera opción es que tome el punto mínimo en algún valor entre 0 y 8 en donde sería un mínimo local en cuyo caso la derivada de aps sería igual a 0 pero bueno primero qué te parece si evaluamos a am en alguno de sus puntos extremos así que empecemos con a de 0 a de 0 va a ser lo mismo que y bueno esto ya lo sabemos es lo mismo que pone el 0 aquí en esta integral y tomar nuestra integral de 0 a 0 o podemos recordar lo que ya sabemos ya sabemos que en un inicio habían 30 pies cúbicos de agua así que en un inicio va a haber 30 pies cúbicos de agua ahora pensemos en el otro extremo en am de otro y bueno esto va a ser lo mismo que tomar los 30 más la integral de 0 a 8 de bueno de rd x menos de equis y todo esto multiplicado por de x y para nuestra suerte tenemos por aquí la calculadora pero antes de traer la calculadora déjame subir para camps para ver las funciones para ver cuánto valen nuestras funciones y están justo por aquí aquí ya podemos ver cuánto vale r dt y ddt ahora voy a traer por acá a nuestra calculadora la voy a poner justo por aquí y lo primero que voy a hacer es definir una función hay varias formas de hacerlo pero creo que definiendo una función va a ser mucho más fácil para poder con esa función de una manera más rápida y así poder hacer todo lo que nos falta entonces la función que voy a definir es r de x menos de x y si observas aquí tenemos a erdem así que voy a usar x por ahora y entonces me va a quedar paréntesis 20 que multiplica al seno de y bueno me queda x cuadrada entre 35 x cuadrada esto lo voy a dividir entre 35 muy bien ya esto le vamos a quitar de de x que en este caso aquí tenemos la función de de tema y voy a poner x en lugar de t entonces me va a quedar abro paréntesis menos 0.04 por x elevado al cubo esto que multiplica es elevado al cubo ya esto le voy a sumar 0.4 que multiplica a equis elevado al cuadrado ya esto le voy a sumar 0.96 que multiplica a equis muy bien entonces tengo r de equis que es 20 por el seno de x cuadrada entre 35 menos de de x que es menos 0.04 por x elevado al cubo más 0.4 por x elevado al cuadrado más 0.96 por x muy bien así define esta función de uno y ahora voy a regresar a este primer módulo que tengo aquí a esta pantalla inicial y ahora lo que vamos a hacer es tomarnos 30 más la integral de la función de uno de rd x menos de x recuerda que lo que estamos buscando es justo esta integral que tengo acá abajo es lo que quiero hacer esta de aquí la integral de 0 a 8 de r tx - de x de x es una integral definida y ya sabemos hacerlo esto es lo mismo que 30 más y bueno nos vamos a ir a matt y después voy a poner aquí en el número 9 la integral definida le voy a dar entre justo es lo que queremos de quien bueno de nuestra variable de 1 así que vamos a buscar nuestras variables en este caso aquí tenemos las variables y voy a poner 1 la función de 1 muy bien observa que esto nos va a ahorrar bastante tiempo pues de escribir toda la función r x menos de equis pero esto nos va a ahorrar bastante tiempo y una vez que tengo 30 más la integral definida de la función de 1 recuerda que después tenemos que poner la variable bajo la cual le estamos integrando que es x y después tenemos que poner los límites de integración los límites de integración es de 0 a 8 muy bien y ahora si tengo que esto va a ser igual a 48.54 y si redondeamos me va a quedar 48.54 4 pies cúbicos así que déjenme notarlo esto es aproximadamente aproximadamente 48.54 4 pies cúbicos esto claro en el tiempo de igual a 8 y ahora vamos a buscar un punto entre estos dos límites que me dé un mínimo local un punto local ahora independientemente si es mínimo o máximo encontraremos los puntos críticos igualando la primera derivada de am igual a cero la primera derivada de a con respecto a t igual a cero y bueno vamos a encontrar esta derivada lo primero que tengo es la derivada de una constante con respecto a t y bueno eso es cero así que aquí no me va a quedar nada y después tengo la derivada de esto que tengo aquí con respecto a t y eso se obtiene con el teorema fundamental del cálculo y me quedaría r de rd - de dt esto porque aquí tenemos una función ítem es mi límite superior así que lo que sea que integremos aquí va a ser una función de t y ahora para que esto de aquí sea igual a cero tenemos que averiguar cuándo r d t es igual y para nuestra suerte ya definimos en nuestra calculadora una función que es rd - de dt bueno en este caso r de x menos de x así que si regresamos por acá y ahora vemos nuestra calculadora para igualar esto a cero lo que hay que hacer es igualar la función de uno igual a cero y para hacer eso voy a utilizar el solberg solver me ayudará a aproximar soluciones de este tipo de ecuaciones así que para eso voy a apretar aquí este botón de más y justo acá abajo de donde está el número 9 de la integral definida en el número 0 tengo solberg así que voy a presionar este y ahora me dice que ecuación quiero resolver la ecuación 0 igual y bueno ya sabemos que queremos hacer y 1 igual a cero así que me voy a ir a variables justo aquí en funciones que ya definir y aquí tengo 1 entonces quiero que la función de uno sea igual a cero y ahora sí voy a presionar alfa y después solve y ahora lo que me piden es un valor inicial para empezar a buscar así que si aprieto que empiece a buscar en cero me va a dar que bueno bueno me dice que cero es una solución y claro cero era una solución pero si quiero otro valor que esté entre 0 y 8 no sé se me ocurre empezar a buscar en dos y ahora pongo al funk y soul entonces me da que 3.27 3.27 2 es una solución de esta ecuación de 1 igual a cero así que déjame escribirlo aproximadamente te toma el valor de bueno 3.27 2 para tener una solución ecuación y ahora lo que vamos a hacer es evaluar esta función am justo aquí para ver si tenemos realmente un punto local mínimo y de hecho para ver si tenemos una cantidad menor que a de 0 porque ya vimos que a de 8 es mayor que a de 0 entonces como hacemos eso bueno lo que vamos a buscar es am de 3.27 2 y para eso vamos a regresar a nuestra calculadora vamos a regresar a nuestra calculadora y bueno vamos a salir de aquí así perfecto y ahora lo que queremos hacer es tomarnos 30 30 más y ahora vamos de nuevo a más y vamos a tomarnos el número 9 la integral definida de quién es bueno de nuestra variable ya la tenemos aquí nuestra variable y recuerda que nuestra variable de integración es equis y bueno ahora vamos a tomar los límites de integración el límite inferior es 0 y el límite superior va a ser 3.27 2 entonces 3.27 2 y ahora nos dan presiono éste y me dan 27.96 5 aproximadamente 20 7.96 5 así que voy a quitar mi calculadora y voy a apuntar que esto es aproximadamente aproximadamente 20 7.96 y entonces ya estamos listos para responder para que valor de t la cantidad de agua en la tubería es mínima y bueno ya podemos decir que para el valor de de aproximadamente de 3.27 2 justo aquí tenemos la menor cantidad de agua e incluso menor que cuando empezamos que era este valor de aquí y también menor que cuando tenemos el tiempo de igual a 8 entonces cuando t es aproximadamente 3.27 2 tenemos que la cantidad de agua en la tubería es mínima y bueno podemos escribir que es mínima porque a de 3 punto 27 2 esto es menor que a de 0 que a su vez era menor que a d de lujo y ojo podríamos haber obtenido un valor mínimo o un máximo justo cuando igualamos la primera derivada a 0 pero como obtenemos un valor más pequeño que inclusive estos dos nos dice claramente que este es un mínimo déjame escribirlo cuando te es aproximadamente 3.27 2 tenemos un mínimo ya está esa es la respuesta o podemos decir que en 3.27 2 es un valor mínimo