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Cálculo, todo el contenido (edición 2017)

Unidad 8: Lección 1

Preguntas del examen AP Calculus AB

Examen AP Calculus AB/BC, 2015. Pregunta 1d

Cuándo se desborda la tubería de desagüe.

Transcripción del video

parte de lo máximo que puede soportar la tubería antes de desbordarse son 50 pies cúbicos de agua para t mayor que 8 el agua de lluvia se mantiene entrando y saliendo de la tubería con las mismas tasas iniciales hasta que el agua empieza a desbordarse escribe pero no resuelva una ecuación para obtener el tiempo w en donde la tubería empieza a desbordarse esta ecuación debe involucrar una o más integrales muy bien entonces la tubería empieza a desbordarse y nos dicen que empieza a desbordarse en el tiempo doble 1 y también nos dicen que la tubería va a empezar a desbordarse cuando tenga más de 50 pies cúbicos de agua porque dice lo máximo que puede soportar la tubería antes de desbordarse son 50 pies cúbicos de agua entonces podemos averiguar para qué tiempo la tubería va a tener 50 pies cúbicos de agua en ella así que para esto podemos tomar la función amp que definimos en el vídeo pasado la función up del inciso anterior y ahora vamos a sustituir a t por el tiempo en donde se desborda el agua de la tubería es w es decir nos vamos a aplicar en cuanto es am de este tiempo w y bueno nosotros sabemos que a de w es lo mismo que 50 pies cúbicos de agua porque este es el tiempo en donde la tubería empieza a desbordarse y bueno la tubería empieza a desbordarse cuando tenemos 50 pies cúbicos de agua así que con esta ecuación que tengo aquí ya solamente tendríamos que resolver para w y dice escriben pero no resuelvas así que podemos hacer más claro y además nos va a ayudar a involucrar una o más integrales para eso recordemos que a de w lo tenemos justo aquí es lo mismo que 30 30 más la integral de 0 a w en este caso vamos a sustituir el valor de t por w de bueno de rd y en lugar de poner x como ya no necesito ate en esta ecuación voy a poner mejor r de t para que sea más claro y así no metemos a x en mi respuesta entonces me quedaría 30 más la integral de 0 w de rd t - del dt muy bien y todo esto lo vamos a multiplicar por d muy bien así que esta es la cantidad total de agua en el tiempo de w y bueno sabemos que esto es igual a 50 pies cúbicos entonces ya están escribe pero no resueltas una ecuación para obtener el tiempo w el tiempo w en donde la tubería empieza a desbordarse esta ecuación debe involucrar una o más integrales y esta tenemos de aquí la respuesta correcta así que si resolvemos para w tendríamos el tiempo en donde la tubería empezaría a desbordarse claro suponiendo que cuando llegues a 50 pies cúbicos no va a disminuir la cantidad de agua así que cruzando este tiempo w pasaremos de los 50 pies cúbicos de agua e inclusive puedes intentarlo por tu cuenta dar un valor mayor a w después de resolver esta ecuación que tengo aquí y así vas a comprobar que tienes más cantidad de agua que entra que es la que sale en ese tiempo en ese tiempo en ese tiempo mayor que w tendrías que r de ese tiempo sería mayor que te de ese tiempo lo que quiere decir que la cantidad de agua crece y por lo tanto pasamos de estos 50 pies cúbicos de agua después de ese tiempo y bueno si quieres obtener a w lo único que tienes que hacer es resolver todo esto ahora hay otra opción de llegar a esta misma respuesta correcta lo que se me ocurre es lo siguiente pensar un poco en lo que resolvimos en el problema pasado en el problema pasado vimos que cuando el tiempo tomaba el valor de 8 a de 8 era lo mismo que 48.54 4 entonces como este tiempo es mayor que 8 podemos escribir la respuesta de la siguiente manera vamos a decir que ahora vamos a usar la siguiente integral voy a poner que la cantidad de agua en el tiempo t igual a 8 48.54 4 esta es una muy buena aproximación y a esto le vamos a sumar bueno la cantidad de agua que se tiene desde tim igual a 8 hasta t igual a doble de quién bueno de mi función de dtm a esto le quitamos la función de dtm ok y todo esto multiplicado por de t y bueno ya sabemos que esto tiene que ser igual a 50 pies cúbicos así que ya está esta es otra respuesta correcta de hecho cualquiera de estas dos respuestas te llevarían a un resultado correcto y siete preguntas para que w tenemos 50 pies públicos de agua bueno pues tendremos que resolver cualquiera de estas dos ecuaciones que tengo aquí y después de que obtenemos a doble un puedes probar que en esa w tienes una tasa de cambio creciente o lo puedes pensar como una entrada neta positiva en ese punto lo cual que estaría diciendo que en ese punto el agua se empieza