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Cálculo, todo el contenido (edición 2017)

Unidad 8: Lección 1

Preguntas del examen AP Calculus AB

Examen AP Calculus AB/BC, 2015. Pregunta 3b

Suma de Riemann para estimar la distancia.

Transcripción del video

parte ve usando las unidades correctas explica el significado de la integral definida desde 0 a 40 de el valor absoluto dvd t dt en el contexto del problema aproxima este valor de esta integral usando una suma de riman por la derecha con los 4 sus intervalos indicados en la tabla bien vamos a trabajar la primera parte del problema esta de aquí usando las unidades correctas explica el significado de la integral definida y es esta integral que tenemos aquí ahora aquí tenemos a la velocidad y para la velocidad es un vector ahora bien si no estuviera este valor absoluto aquí entonces sí estaríamos hablando del desplazamiento entonces aquí tenemos el valor absoluto de la velocidad que es la rapidez que multiplica a un pequeño cambio en el tiempo y entonces todo esto nos va a dar la distancia total que ella recorrió así que vamos a escribirlo la integral definida desde 0 a 40 del valor absoluto dvd t esto dt todo esto va a representar la distancia total déjame escribir la distancia total que ella recorrió esto de aquí es la distancia total que ella recorrió en los 40 minutos es la distancia total que ella recorrió en los 40 minutos y ya con esto tenemos la primera parte de este inciso b usando las unidades correctas bueno espera nos faltaron las unidades déjame escribirlo las unidades unidades son metros ok y ya con esto ahora sí tenemos la primera parte usando las unidades correctas explica el significado de la integral definida esta que tenemos aquí en el contexto del problema y después dicen aproximan el valor de esta integral usando una suma de riman por la derecha con los 4 sus intervalos indicados en la tabla estos 4 sub intervalos y bueno para eso lo que voy a hacer es traer la gráfica por acá que hicimos en el vídeo pasado esta gráfica que tengo aquí y vamos a trabajar con ella para que te sea mucho más claro lo que está sucediendo recuerda no es consenso que hagas esto en el examen a p pero yo lo quiero hacer para ayudarte a entender un poco mejor este problema pero regresando a esto que tenemos aquí si recuerdas en el vídeo pasado pusimos de color naranja los valores de la velocidad según esta tabla pero ahora quiero aplicarme en el valor absoluto de la velocidad entonces esto me va a quedar y lo voy a poner de color verde absoluto de este es este muy bien el valor absoluto de este es este el valor absoluto de este es este pero en este caso el valor absoluto de menos 220 va a ser algo positivo estás de acuerdo va a ser más 220 entonces podemos ver aquí que cuando el tiempo vale 24 vedete es menos 220 eso quiere decir que está trotando en dirección contraria pero no vamos a tomar el valor absoluto de eso entonces nos va a quedar lo siguiente el valor absoluto de menos 220 en el tiempo te iguala 24 me va a quedar algo más o menos por aquí más o menos por aquí entonces cuando te es 24 su rapidez será de 220 porque va a tomar el valor del valor absoluto de este de aquí y para por último el valor absoluto de este es este que tenemos aquí entonces ojo no conocemos la función rapidez pero supongo que la función rapidez se verían más o menos así se vería más o menos algo más o menos así esta sería mi función rapidez déjenme escribirlo esta de aquí sería mi función valor absoluto de t lo cual ya sabemos que es la función rapidez y ahora lo que nosotros queremos hacer es encontrar el área bajo la curva de esta función rapidez lo que queremos hacer es integrarlo y bueno si lo integramos se verían más o menos así ahora el problema y quiero que lo observé es que no tenemos esta función rapidez no sabemos explícitamente cuál es esta función y por lo tanto no podemos saber el valor exacto de esta integral pero lo que podemos hacer es aproximar el valor de esta integral de aquí con una suma de rima y en este caso va a ser una suma de rimar por la derecha lo voy a poner con este va a ser una suma de rima por la derecha y es que una suma de riman es simplemente romper esta área que teníamos acá abajo en rectángulos y finalmente encontrar el área total de esos rectángulos y bueno hay dos formas de hacer eso porque él cada rectángulo puede tener la altura de la frontera izquierda o la frontera derecha pero en este caso vamos a tomarnos una suma de riman por la derecha lo que quiere decir que cada uno de estos rectángulos va a tener como altura el valor que toma la función en el punto de la derecha en la frontera derecha y ya que construimos todos estos rectángulos con la altura dada lo que vamos a hacer es aproximar esta área utilizando el área de los rectángulos entonces vamos a hacerlo si / esto en cuatro rectángulos porque bueno observa que tenemos cuatro intervalos el primer intervalo va a ir del tiempo de igual a cero al tiempo de igual a 12s intervalo baile el tiempo de igualdad 12 el tiempo te iguala 20 el tercero va a ir desde el tiempo de igual a 20 hasta el tiempo de igual a 24 y el cuarto va a ir desde el tiempo de igual a 24 hasta el tiempo de igual a 40 tenemos cuatro intervalos ahora bien si toda esta idea de sumas de riman por la derecha o por la izquierda te parece completamente desconocida entonces te encargo que vean los videos y resueltas los ejercicios sobre este tema en la canaca de mi bien vamos a hacer los rectángulos el primer rectángulo se va a ver más o menos así tenemos una base desde cero hasta doce y vamos a tomar la altura que nos da el valor de 2 que es justo esta de aquí así que mi rectángulo se va a ver más o menos así tenemos como base el intervalo de 0 a 12 y como altura el valor que toma la función en el punto de la derecha es decir en el tiempo de igual a dous después tengo el segundo rectángulo y se observa se va a ir desde 12 hasta 20 desde 12 hasta 20 y este rectángulo va a tomar como altura lo que valga la función en el valor de t igual a 20 entonces se va a ver más o menos así toma la altura del punto de la derecha muy bien después tengo el siguiente intervalo que me va a definir el siguiente rectángulo y es de 20 a 24 de 20 a 24 y vamos a tomar el valor que toma la función en el tiempo de igual a 24 es decir el punto de la derecha y se va a ver más o menos así observa que estos rectángulos se ven un poco irregulares pero está bien no forzosamente deben de tener el mismo ancho recuerda que es una aproximación y por último el último rectángulo va a tener como base desde 24 hasta 40 y va a tomar la altura que toma la función en el valor de 40 en el punto de la derecha entonces se va a ver más así ya tenemos aquí nuestros cuatro rectángulos y entonces ya podemos decir que la aproximación de esta integral deja de escribirlo la aproximación de la integral desde cero hasta 40 de el valor absoluto de b dt ok esto dt por una suma de riman por la derecha va a ser bueno la suma del área de cada uno de estos rectángulos entonces podemos escribir que esto va a ser aproximadamente y primero tengo este cambio en el tiempo que va a ser de 0 hasta 12 lo cual es un cambio en el tiempo de 12 y lo vamos a multiplicar por la altura de el valor del lado derecho que es el valor de 12 lo cual es 200 entonces lo voy a multiplicar por 200 muy bien ya esto le voy a sumar la segunda área qué es la diferencia entre 20 y 12 bueno hay de diferencia 8 minutos 8 que multiplica y aquí tengo que la altura del punto de la derecha es el valor que toma la función de dt en 20 y b de 20 es 240 entonces a esto lo voy a multiplicar por 240 y después le voy a sumar y ahora me voy a aplicar en el siguiente cambio en el tiempo que es de 20 a 24 y bueno 20 para 24 es 44 que multiplica a el valor que toma la función en el punto de la derecha que es de 24 o bueno espera es el valor absoluto debe de 24 recuerda que nos estamos tomando el valor absoluto de cada uno de estos entonces me va a quedar 4 x 220 ya esto le voy a sumar el último cambio en el tiempo que es de 40 a 24 de 40 a 24 lo cual es 16 6 ya esto lo voy a multiplicar por el valor absoluto del valor que toma la función en 40 en 40 tomamos el valor de 150 el valor absoluto de 150 así que lo voy a poner aquí y lo quiero ser muy claro con esto esto de aquí es una aproximación es la aproximación de la suma del área de este rectángulo lo cual es bueno tiene una base de 12 de 12 minutos y lo multiplicamos por la altura que en este caso es el valor absoluto del valor que toma el punto de la derecha que es 200 ya esto le sumamos bueno el área de este rectángulo que es 8 x 240 ya eso le sumamos el área de este rectángulo que es 4 x 220 ya esto le sumamos el área de este rectángulo que es 16 por 150 me estoy tomando una aproximación y ahora si esto va a ser aproximadamente cuánto bueno pues esto lo podemos hacer a mano 12 x 200 es lo mismo que 2400 muy bien y después tengo 8 x 240 bueno 8 x 40 es 320 8 x 203 1600 entonces me va a quedar 1920 ya esto le voy a sumar 4 x 220 eso es 880 y por último le voy a sumar 16 por ciento 50 bueno espera 15 por 15 es 225 y si el aumento este 0 me va a quedar 2 mil 225 más una vez 150 bueno esto es lo mismo que 2 mil 250 más 150 es 2400 otra vez 2400 y si ahora me tomo la suma de todo esto vamos a hacerlo aquí tengo 2400 2.400 a esto le sumó 1920 1920 a esto le sumó 880 a esto le sumó 2400 otra vez 2400 entonces me va a quedar lo siguiente 08 y 2 son 10 y llevo una y tengo 5 y 9 es 14 y 8 es 22 y 4 es 26 entonces 26 y llevo 2 déjame ver si lo hice bien 9 y 1 son 10 14 22 26 de lujo y después me queda 2 467 7.600 entonces déjame notarlo esto es igual a 7.600 y bueno como estamos hablando de la distancia total sus unidades son los y ya está este es mi resultado y tal vez estés tentado a decir bueno estamos buscando un área que el área no se mide en metros cuadrados pero ten cuidado recuerda que nos estamos fijando en el área abajo de esta curva de la función rapidez entonces si piensas en unidades bueno pues observa que aquí tenemos 12 minutos 12 minutos y aquí esta altura de aquí va a tomar el valor de 200 de 200 metros sobre minuto sobre minuto así que los minutos se cancelarían y me quedaría simplemente metros no metros cuadrados sino metros y ya con esto acabamos este inciso b