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Cálculo, todo el contenido (edición 2017)

Unidad 8: Lección 1

Preguntas del examen AP Calculus AB

Examen AP Calculus AB/BC, 2015. Preguntas 3c y 3d

Aceleración y velocidad promedio a partir de la función de velocidad.

Transcripción del video

bien ahora vamos a la parte se conduce una bicicleta por el mismo camino para hacer un menor o igual que te menor o igual que 40 la velocidad de voz está modelada por y aquí dice vettel es igual a de kubica menos seis de cuadrada más trescientos donde te está dado en minutos y pdte me está dado en metros por minuto encuentra la aceleración de voz en el tiempo te igual a cinco bueno si esta es la función velocidad ésta que tenemos aquí nosotros lo que vamos a querer es encontrar la aceleración que es la derivada de la función velocidad con respecto al tiempo es decir la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo esa es la aceleración y después queremos encontrar esa aceleración en el tiempo de igual a 5 dicho otra manera lo que estamos buscando prima de 5 esto es lo que estamos buscando así que primero qué te parece si encontramos cuánto vale de prima de té y de prima de tema va a ser lo mismo que la derivada de esta expresión que tengo aquí y si observas esto es simplemente aplicar las reglas de la potencia y me va a quedar la derivada de te ubican estrés de cuadrada muy bien y después tengo la derivada de menos 6 de cuadrada bajamos la potencia y me queda 6 por 2 lo cual es 12 menos 12 t menos 27 y por último tengo la derivada de 300 bueno la derivada de una constante 0 porque 300 no va a cambiar con respecto al tiempo y entonces mi derivada es justo está 3 t cuadrada menos 2 y lo que nosotros queremos es evaluar esta derivada en el valor de t igual a 5 así que vamos a hacerlo me va a quedar 3 por 5 elevado al cuadrado menos 12 por 5 ok esto es tan sencillo 5 al 4 a 225 por tres es 75 me queda 75 menos 60 y bueno esto es lo mismo que 15 entonces mi resultado es 15 y si queremos escribirlo en las unidades correctas observa que la velocidad está dada en metros por minuto y el tiempo está dado en minutos entonces me va a quedar metros por minuto por minuto eso es lo mismo que metros sobre minuto elevado al cuadrado minuto elevado al cuadrado así que con esta respuesta vámonos al inciso de dice con base en el modelo b del inciso c con este modelo de aquí encuentra la velocidad promedio de voz en el intervalo 0 menor o igual que t menor o igual que 10 ahora bien si el concepto o la idea de velocidad promedio es completamente desconocida para ti y no recuerdas que es el promedio de una función entonces te recomiendo que veas los vídeos y los ejercicios de la canaca de min que hay sobre este tema el promedio de una función pero regresando al problema lo que buscamos es la velocidad promedio y ésta va a ser el área entre la curva velocidad y el eje del tiempo dividida entre el tiempo total es decir entre el cambio en el tiempo entonces me va a quedar que la velocidad promedio déjame notarlo aquí y dejad promedio promedio va a ser igual a el área entre la curva velocidad y el eje lo cual es la integral desde el tiempo de igual a cero hasta el tiempo de igual a 10 muy bien de la función vedette y esto dt ya esto lo vamos a dividir entre el cambio en el tiempo es decir si tenemos desde el tiempo te iguala 10 hasta el tiempo te iguala 0 tenemos un cambio en el tiempo de 10 minutos y la intuición detrás de esto es que si tú tienes el área de algo y quieres encontrar su altura promedio entonces simplemente tienes que dividirlo entre el ancho y eso es justo lo que estamos haciendo aquí si sabemos el área de algo y queremos encontrar su altura promedio entonces vamos a dividir entre él y al final de ahí viene la intuición de dónde sale esta expresión así que esto va a ser igual a un décimo que multiplica a la integral de 0 a 10 de bueno esta función que tengo aquí la función de kubica de kubica menos seis de cuadrada ya esto le sumamos 300 esto dt bien y esto va a ser exactamente igual que un 10º 11º y bueno cual es la anti derivada de t kubica eso va a ser lo mismo que t 4a entre 4 de 4a entre 4 y si ahora nos preguntamos cuál es la anti derivada de menos 6 de cuadrada bueno la anti derivada de t cuadrada este pública entre 3 entonces menos 6 entre 3 me queda menos 2 de kubica y por último tengo la antes derivada de 300 lo cual es 300 muy bien y quiero que esto de aquí lo evaluamos lo vamos a evaluar primero en 10 y a esto le vamos a quitar la evaluación en 0 así que si bajamos un poco esta pantalla para terminar este problema esto me va a quedar de la siguiente manera esto es lo mismo que un décimo y primero vamos a evaluar en 10 me va a quedar 10 elevado a la cuarta potencia bueno es 10 100 mil diez mil 10.000 entre 4 es 2500 2500 ya esto le voy a quitar y después dicen 10 elevado al cubo es 1000 por 2 me queda 2000 2000 muy bien ya esto le voy a sumar 300 por 10 lo cual es 3000 muy bien y a todo esto le voy a quitar la evaluación en cero pero si observas será la cuarta es 0 100 y 300 por 0 0 así que simplemente voy a cerrar este paréntesis porque no tenemos que quitarle nada y ahora sí 2500 menos 2.500 más 3000 me va a quedar que todo esto que tengo aquí es lo mismo que 3500 3500 y si a esto lo divido entre 10 me queda 350 de lujo 350 y como estoy hablando de velocidad promedio va a ser 350 metros por mí y ya está con esto hemos acabado este problema