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Cálculo, todo el contenido (edición 2017)

Unidad 8: Lección 1

Preguntas del examen AP Calculus AB

Examen AP Calculus AB/BC, 2015. Preguntas 4a y 4b

Campo de pendientes de una ecuación diferencial.

Transcripción del video

considera la ecuación diferencial la derivada de 10 con respecto a x igual a 2 x menos en los ejes siguientes esboza un campo dependientes a los seis puntos indicados para la ecuación diferencial dada y los puedes ver aquí tenemos 1 2 3 4 5 6 puntos así que qué te parece si hacemos una tabla por aquí voy a hacer una tabla por aquí para ver cuáles son las pendientes en cada uno de los puntos así que voy a poner tres columnas en la primera columna voy a poner x después voy a poner otra columna por acá en segunda columna voy a poner bien y en mi tercera columna voy a poner la derivada de james con respecto a x y bueno eso sabemos que es igual a 2x - y ahora qué te parece si empezamos con el primer punto con este de aquí si observas en este punto x vale 1 y llévale 2 x vale 1 y llévale 2 y entonces la derivada de ye con respecto a x sería dos por uno menos dos lo cual es igual a cero entonces la derivada a 10 0 y quiero dibujar una recta que indique la pendiente en ese punto entonces vamos a dibujar una recta que tenga una pendiente de 0 se va a ver más o menos así es una recta horizontal y ahora nos vamos a ir al siguiente punto es de aquí donde tenemos que x vale 0 0 y llévale 2 entonces me quedaría por 0 2 lo cual es igual a menos 2 muy bien entonces en este punto como se va a ver una pendiente de menos 2 bueno para partir desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha y va a estar un poco inclinada entonces se va a ver más o menos así aquí tengo una pendiente de menos 2 más o menos así y ahora vamos al siguiente punto este de aquí en donde x vale 1 y james también vale 1 entonces lo que daría dos por uno menos dos que es igual a uno y entonces voy a dibujar una pendiente de uno que es una pendiente más o menos así está inclinada a unos 45 grados más o menos se ve algo así esta sería una pendiente de 1 muy bien vamos al siguiente punto este de aquí donde x vale cero y llévale uno 0 y llévale 1 y me quedaría 2 por 0 y a esto le quitamos 1 y esto va a ser igual a menos 1 entonces como dibujamos una pendiente de menos 1 bueno pues va a ser una pendiente que también va de arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha pero va a ser un poco menos inclinada que ésta va a tener también una inclinación de 45 grados y se va a ver más o menos así más o menos así observa que está menos inclinada que está pendiente de menos 2 muy bien ahora vayamos al siguiente punto que es este de aquí donde x vale 1 y menos 11 y jane menos 1 y entonces me voy a tomar 2 x 1 menos -1 y cuantos esto bueno esto es lo mismo que en dos más uno es 3 entonces como dibujo una pendiente de 3 es una pendiente que va a ir hacia arriba pero que va a ser muy inclinada mucho más inclinada que ésta entonces me voy a tomar una más o menos así iba a ser muy inclinada y ahora vamos a ir al último punto donde x vale 0 y 10 menos 1 x vale cero menos uno y me quedarían dos por cero menos menos uno lo cual me va a dar una pendiente de uno entonces va a tener esta misma pendiente voy a dibujar o voy a intentar dibujar una recta paralela tenemos una pendiente de 45 grados y se va a ver más o menos así aquí ya tengo de nuevo una pendiente de 1 así que con esto ya está ya tengo el inciso a perfecto así que vamos a trabajar ahora con el inciso b y para eso voy a bajar un poco en la pantalla vamos a bajar la pantalla y vamos a hacer este inciso b dice encuentra la segunda derivada de ella con respecto a x en ambas veces en términos de xy de gemma determinar la concavidad de todas las soluciones de la ecuación diferencia en dada en el segundo justifica tu respuesta bueno pues lo primero que voy a hacer es recordar cuánto valía la derivada de james con respecto a x y nosotros ya sabemos que es lo mismo que 2x menos y es lo que me dice el problema y ahora lo que quiero hacer es tomarme la derivada con respecto a x de esto que tengo aquí así que me voy a tomar la derivada con respecto a x de ambos lados de esta parte y también de esta parte la derivada con respecto a x también de esta parte y así voy a obtener la segunda derivada de ella con respecto a x y entonces que me va a quedar bueno del lado izquierdo justo me queda la segunda derivada de esto con respecto a x esto con respecto a x ambas veces y ahora del lado derecho que me queda bueno pues voy a tomar la derivada de cada uno de estos dos y me va a quedar la derivada con x de 2 x bueno eso es simplemente 2 y la derivada con respecto a x de menor james bueno pues eso es menos la derivada de james con respecto a x con respecto a x muy bien pero ojo nos piden la segunda derivada de y con respecto a x en términos de x y de jeff y aquí lo tengo en términos de una constante y de la primera derivada así que qué te parece si sustituimos nuestra primera derivada aquí y así vamos a obtener la expresión en términos de x de ella no va a quedar lo siguiente me va a quedar 2 - y aquí tengo la derivada de que con respecto a x pero eso ya sabemos que es 2x menos 10 así que voy a sustituir eso aquí 2 x menos esto me va a quedar igual a 2 - 2x ma ying-jeou racing ya tengo la segunda derivada de ya con respecto a x en términos de x de yen y esta es la mitad del inciso b de lujo porque después dice determinar la concavidad de todas las soluciones de la ecuación diferencia alta da en el segundo cuadrante justifica tu respuesta y es que recuerda si aquí tenemos unos ejes coordinados estos son mis ejes coordinados este va a ser mi eje gem y este va a ser mi eje x y bueno entonces este de aquí sería mi primer cuadrante este de aquí sería mi segundo cuadrante este de aquí sería mi tercer cuadrante y este es mi cuarto cuadrante ahora que sabemos de todas las equis que viven en el segundo cuadrante bueno sabemos que aquí todas las equis son menores que 0 lo voy a poner que x es menor que cero y que sabemos de todas las que viven en este segundo cuadrante bueno pues todas las que viven en este segundo cuadrante son mayores que cero así que déjenme anotarlo en el cuadrante número dos grande número dos en el segundo cuadrante todas las equis van a ser negativas entonces dejemos escribiendo x es menor que cero y además se cumplen que todas las leyes son positivas así que todas las 10 son más grandes que 0 entonces qué va a pasar si nos fijamos en dos menos 2 x ma jin bueno pues observa lo siguiente es de aquí es siempre positivo es 2 ahora este de aquí menos 2x observa que también va a ser siempre positivo porque si tengo a menos 2 y lo multiplicó por algo el negativo es me va a dar siempre un número positivo y es de aquí también es positivo es justo lo que me dice acá arriba entonces eso quiere decir que en el segundo cuadrante la segunda derivada con respecto a x va a ser siempre positiva porque voy a tener que es siempre positivo -2 por algo que es siempre negativo más algo positivo entonces tengo algo positivo más algo positivo más algo positivo nos va a dar siempre algo positivo déjame escribirlo esto implica que en el segundo cuadrante la segunda derivada de james con respecto a x ambas veces va a ser siempre positiva esto sin duda y que significa bueno significa que la pendiente está creciendo en ese intervalo lo que significa que tenemos una concavidad hacia arriba y déjame notarlo en este caso tenemos una concavidad una concavidad hacia arriba arriba y bueno si ya olvidaste qué significa tener una concavidad hacia arriba o hacia abajo vamos a recordarlo si dibujo aquí los dos tipos de concavidad es tengo esta de aquí y esta de aquí qué va a pasar con cada una de ellas bueno en este primer caso observa que la pendiente está cambiando y se está volviendo cada vez más positiva eso quiere decir que la segunda derivada es positiva y entonces tenemos una concavidad hacia arriba lo podemos ver aquí la pendiente observa que se está volviendo más positiva y entonces está creciendo y se mantiene creciendo creciendo creciendo creciendo y en este caso tenemos una segunda derivada negativa porque observa que en este caso la pendiente estaría decreciendo y entonces tenemos una concavidad hacia abajo y ahora voy a borrar todo esto porque estoy seguro que no queremos entregar el examen a p con todas estas notas de lujo ya está completo el inciso b