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Cálculo, todo el contenido (edición 2017)

Unidad 8: Lección 1

Preguntas del examen AP Calculus AB

Examen AP Calculus AB/BC, 2015. Preguntas 4c y 4d

Soluciones de la ecuación diferencial.

Transcripción del video

inciso se sea fx una solución particular a la ecuación diferencial tabla con la condición inicial efe de 2 igual a 3 la función f tiene un máximo relativo un mínimo relativo a ninguno de los dos en x igualados justifica tu respuesta bueno antes de pensar si tiene un mínimo relativo o un máximo relativo vamos a pensar en la derivada en ese punto y bueno si la derivada es 0 o no está definida entonces va a ser un muy buen candidato para hacer un mínimo relativo o un máximo relativo pero si no es 0 o está definida entonces inmediatamente va a ser ninguno de los dos entonces vamos a evaluar la derivada en este punto y recuerda si es cero entonces vamos a evaluar el signo de la segunda derivada para saber si es un máximo relativo o un mínimo relativo así que vamos a pensar un poco esto y bueno nosotros queremos evaluar f prima de 2 queremos saber cuánto valen f de dos y para eso vamos a recordar primero cuánto valían efedrina de equis y bueno efe prima de x es lo mismo que la derivada del yen con respecto a x verdad con respecto a x y es justo lo que veíamos en el vídeo anterior porque acá arriba dice que la derivada de llegó respecto a x es 2x - james 2x menos james y es lo que nos decía el problema entonces siempre prima de x es 2x menos bien cuanto es entre prima de 2 bueno pues esto va a ser lo mismo que 2 que multiplica a x x vale 2 - bien pero cuánto vale bien cuando x vale 2 bueno eso nos lo dicen justo aquí cuando x vale 2 cuando x vale 2 quien toma el valor de 3 porque recuerda y es igual a fx entonces cuando x vale 2 llévale 3 y aquí me quedaría 2 x 2 menos tres lo cual es exactamente lo mismo 3 lo cual es una de lujo ahora observa la derivada evaluada en 2 no es 0 es 1 entonces este punto de aquí esté aquí en definitiva no será un máximo y será un mínimo entonces por lo tanto podemos decir que como efe prima de dos es distinto de cero entonces entonces la función efe no tiene no tiene ni un máximo relativo y un máximo relativo de la digo ni un mínimo relativo ni mínimo relativo en donde el x igual a 2 en x igual a 2 y ya con esto finalizamos este inciso ok entonces este es el inciso sean bajos al inciso del índice encuentra los valores de las constantes m y ver para qué igual mx más bien sea una solución de la ecuación diferencial ok qué te parece si antes de pensar para que m ítem se cumple que esta recta sea la solución de una ecuación diferencial primero escribimos abajo todo lo que ya sabemos lo primero que sabemos es que bueno la derivada de bien esto con respecto a x eso nos lo dan es lo mismo que dos x menos 10 muy bien y también habíamos sacado que la segunda derivada de jeff esto con respecto a x ambas veces es lo mismo que 2 - la derivada de james con respecto a x fue justo lo que vimos en la parte de de este problema y bueno también vimos que esta misma segunda derivada esta segunda derivada también la podemos escribir en términos de x y también la podemos escribir como dos menos dos equis más y eso también lo obtuvimos en la parte de este problema recuerda está justo por aquí y es que aquí escribimos la segunda derivada en términos de x de james como 2 - 2x martín muy bien creo que hasta aquí es todo lo que sabemos hasta ahorita inclusive antes de pensar que había una solución de la forma que es igual a mx más ver así que qué te parece si ahora empezamos con esto con que james es igual a mx más vea si empezamos justo con esto qué va a pasar si te digamos qué pasa si derivamos esta función que tengo aquí cuál es la derivada de james con respecto a x bueno pues esto va a ser lo mismo que la derivada de mx es lo mismo que m y la derivada de b bueno es una constante entonces su derivada va a ser cero y esto tiene todo el sentido porque la tasa de cambio de con respecto a x en una recta es justo la pendiente entonces es todo lo que sabemos incluso podemos ir más lejos y no se tomar la segunda derivada de james con respecto a x ambas veces la segunda derivada del llegó respecto a x va a ser buena la derivada de una constante es 0 así que me quedaría igual a 0 y eso es cierto porque la segunda derivada de una función lineal siempre es cero así que bueno esto es muy interesante porque es toda la información que tenemos esto era lo que nos daba el problema de una manera inicial y estos dos los obtuvimos en los ejercicios anteriores y aquí bueno tengo a la recta y lo único que hice fue derivar la una vez y dos veces entonces dado todo esto como podemos averiguar cuánto vale m y cuánto vale b bueno lo primero que se me ocurre es que si decimos que m igual a la primera derivada de x entonces va a ser 2x menos james y bueno no creo que por aquí no sale nada no podríamos obtener nada porque no sabemos el valor de m entonces no sé estoy casi seguro que este ejercicio debe tener algún truco escondido veamos o mira yo sé que la segunda derivada tiene que ser igual a cero entonces podemos usar eso justo aquí esta de aquí vale cero para esta solución particular y bueno también para este caso sabemos que la derivada de llegó al respecto a x es la pendiente así que esto es la pendiente y del ojo ya está súper porque ya tenemos la información necesaria para resolver para m ahora tenemos que 0 0 es igual a 2 - m es justo lo que me dice esta ecuación de aquí 0 porque sabemos que la segunda derivada de ye gon respecto a x es 0 para una ecuación lineal sabemos que la derivada de ella con respecto a x en una ecuación lineal es m entonces si de aquí sumo m de ambos lados me va a quedar que m es igual a 2 y esto está de lujo porque nos va a ayudar bastante a poder obtener la solución de este problema ya sabemos m ahora nos falta b bueno pues ahora podemos usar esta m igualados justo aquí aquí se me ocurre usarla si en lugar de esto pongo que esto es m pero m es igual a 2 en este caso entonces me quedaría que 2 es igual a 2x -10 y ya está ya de aquí podemos obtener abrir porque si resolvemos esto para ayer bueno lo que se me ocurre es sumar que de ambos lados y restar dos de ambos lados me va a quedar que es igual a 2 x menos 2 - 2 y ya está porque aquí puedes ver que esta es mi pendiente ni pendiente y este de aquí este de aquí va a ser ven me ve justo lo que estábamos buscando al final este ejercicio es un poco tramposo siempre que tengas que hacer algo como este ejercicio es decir algo que no te brinque inmediatamente porque no sea tan obvio como ven en este caso en un principio no tenía una idea clara de cómo resolver el problema pero lo que te aconsejo y observa lo primero que hice fue escribir acá abajo todo lo que sabía y después escribí justo acá lo que me daba el problema esta debe de ser una solución entonces déjame ver si de alguna forma puede obtener a m ya ve y observa que de esto no usted en el problema se observa esta está bueno no lo sé pero esto si lo usen estos y lo usen esto sí lo hacen y esto también lo usen entonces observa este fue un pequeño rompecabezas donde tuve que escribir todo lo que ya sabía la información que nos dieron y tuve que encontrar la solución con base en ello sólo así pudo obtener a m en llave y ahora todo es bastante claro que esta va a ser la solución porque observa si regresamos por ejemplo acá a nuestro campo dependientes que teníamos en un principio a este que tengo aquí y ahora me tomo la recta y es igual a 2 x menos 2 como se va a ver bueno aquí tengo el punto 10 coma menos 2 y entonces ésta se va a ver más o menos así déjame dibujarla se va a ver más o menos más o menos así si nos fijamos en algunos de estos puntos de esta recta en este de aquí en este de aquí o en este de aquí observa que todos tienen la misma pendiente igual a 2 por ejemplo éste el punto 2 2 me quedarían dos por dos menos dos lo cual es dos por ejemplo éste otro el punto x igual a uno ya igual a cero me quedaría 2 x 1 - 0 lo cual también es 2 y este punto por acá x igual a cero y de igual a menos 2 me quedaría 2 x 0 se va y después menos menos dos lo cual también es 2 y si observas ahora es bastante claro pues todas las pendientes alrededor están cambiando pero esta es una solución lineal a nuestra ecuación diferencial original cualquiera de estos puntos tiene la misma pendiente que va a ser igual a 2 súper